DE2426376B2

DE2426376B2 - Optischer Wellenleiter

Info

Publication number: DE2426376B2
Application number: DE2426376A
Authority: DE
Inventors: Katsuyuki Sayama Saitama Imoto; Seiichi Tokorozawa Saitama Onoda; Mitsuo Ohme Tokio Tanaka
Original assignee: Hitachi Ltd
Current assignee: Hitachi Ltd
Priority date: 1973-06-04
Filing date: 1974-05-31
Publication date: 1979-03-22
Also published as: US3973828A; JPS5013056A; DE2426376A1; DE2426376C3

Description

ν = K₀ α η i'l -ρ²;

A₀ = Wellenzahl des zu übertragenden Lichts.

2. Optischer Wellenleiter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß sich der Brechungsindex an der Grenze zwischen der ersten Schicht (4) und der zweiten Schicht (5) in Radialrichtung kontinuierlich ändert

3. Optischer Wellenleiter nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Schicht (4) aus Siliciumoxid und die zweite Schicht (5) aus Glas mit hohem Siliciumtfioxidgr'/alt besteht

4. Optischer Wellerleiter nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, da" die erste Schicht (4) aus Siliciumoxid und die zweite Schicht (5) aus geschmolzenem Quarzglas besteht.

5. Optischer Wellenleiter nach Anspruch 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Schicht (4) zur Einstellung des Brechungsindexes einen metallischen Störstoff enthält

6. Optischer Wellenleiter nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Störstoff aus L, B, P, Ba, Na oder Ga besteht

Die Erfindung bezieht sich auf einen optischen Wellenleiter nach dem Oberbegriff des Patentanspruchs I.

Üblich sind optische Wellenleiter, die aus einem massiven Kern mit verhältnismäßig hohem optischem Brechungsindex und einem den Kern umgebenden Mantel mit geringerem Brechungsindex bestehen. Die sich durch das Innere dieses Wellenleiters ausbreitenden Lichtwellen verhalten sich ähnlich wie elektromagnetische Wellen in einem Wellenleiter. In Abhängigkeit von der Art der Übertragung lassen sich diese Wellenleiter in Einfach- und Mehrfach-Wellenleiter unterteilen.

Beim Einfach-Wellenleiter liegt ein einzelner Übertragungsmodus vor, so daß keinerlei Gruppenlaufzeitdifferenzen zwischen verschiedenen Übertragungsmoden auftreten. Ein solcher Wellenleiter weist daher eine hohe Übertragungsbandbreite auf, die bei Übertragung über eine Entfernung von 1 km mehrere GHz beträgt.

Allerdings ist es erforderlich, daß der Kerndurchmesser sehr klein (einige μηι) oder die Differenz der Brechungsindices zwischen Kern und Mantel gering ist Bei derart geringen Kerndurchmesser ist es äußerst ϊ schwierig, das Licht in den Kern einzuleiten sowie zwei Wellenleiter an einer Verbindungsstelle mit genügender Genauigkeit aufeinander auszurichten. Ein geringer Brechungsindex-Unterschied hat den Nachteil, daß an Biegungen des Wellenleiters große Eroissionsyerluste auftreten. Bei Mehrfach-Wellenleiter habe.·, dagegen die einzelnen Übertragungsmoden unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten, was zu einer Beschränkung der Übertragungsbandbreite führt Aus den USA-Patentschriften 35 83 786 und 33 86 043 sind Wellenleiter nach dem Oberbegriff des Patentanspruchs 1 bekannt bei denen der Kern von einem gasgefüllten oder evakuierten Hohlraum innerhalb der ersten Schicht gebildet wird, während die zweite Schicht aus Metall oder einem nicht metallischem Material mit hohen dielektrischen Verlusten und einem Brechungsindex besteht der größer ist als der der ersten Schicht Auch diese bekannten hohlen Wellenleiter sind jedoch so gebaut daß der Hauptteil der Lichtenergie durch den inneren Hohlraum übertragen wird. Daher verhalten

2> sich auch diese Wellenleiter ähnlich wie die üblichen zylindrischen Wellenleiter zur Übertragung elektromagnetischer Wellen mit den oben genannten Nachteilen, insbesondere geringer Übertragungsbandbreiten infolge von Gruppenlaufzeitdifferenzen zwischen den

M) verschiedenen auftretenden Übertragungsmoden.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, einen optischen Welitmleiter zu schaffen, der bei großem Kerndurchmesser große Übertragungsbandbreite aufweist

Nach der im kennzeichnenden Teil des Patentanspruchs 1 angegebenen Lösung dieser Aufgabe ist der Wellenleiter bezüglich der Wellenlänge des zu übertragenden Lichts derart dimensioniert, daß die verschiedenen bei großen Kerndurchmesser auftretenden Wellen- moden »degenerieren«, d. h. in ihren Übertragungseigenschaften einander annähern, so daß die Gruppenlaufzeitdifferenzen zwischen den einzelnen Moden gering werden. Bevorzugte Ausführungsbeispiele der Erfindung

4"> werden in der nachstehenden Beschreibung anhand der Zeichnungen näher erläutert. In den Zeichnungen zeigen

Fig. IA, B und C einen Schnitt, eine teilweise Seitenansicht bzw. ein Diagramm der Brechungsindex-

ί<> Verteilung einer bekannten Faser,

Fig. 2A, B und C einen Schnitt, eine teilweise Seitenansicht bzw. ein Diagramm der Brechungsindex-Verteilung eines Lichtleiters gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung,

ν; Fig.3A und B einen teilweisen Schnitt bzw. ein Diagramm der Brechungsindex-Verteilung eines plattenförmigen Wellenleiters zur Erläuterung des der Erfindung zugrunde liegenden Prinzips, Fig.4A und B Diagramme, in denen die Phasenkon stante β von plattenförmigen Wellenleitern gemäß Fig.3A und B als Funktion der normierten Frequenz aufgetragen ist,

F i g. 5 und 6 Diagramme der Brechungsindex-Verteilung bezüglich des Durchmessers bei Wellenleitern gemäß zwei verschiedenen Ausführungsbeispielen der Erfindung,

Fig. 7 und 10 Darstellungen zur Erläuterung der Herstellung eines Wellenleiters gemäß einem Ausfüh-

rungsbeispiel der Erfindung,

Fig.8 eine Darstellung zur Erläuterung eines Teils des Herstellungsverfahrens nach F i g. 7 und

F i g. 9 ein Diagramm, in dem der Brechungsindex als Funktion von Störstoffen dargestellt ist, die zur Brechungsindex-Steuerung bei der Herstellung eingesetzt worden.

Gemäß Fig. IA bis C weist die eingangs angesprochene herkömmliche lich'Jeitende Faser einen Kern 1 und einen Mantel 2 auf.

Bei diesem Aufbau wird die Art, in der sich das Licht verbreitet, durch die normierte Frequenz ν bestimmt, die durch folgende Gleichung definiert ist:

magnetische Transversalwelle TM. Die Feldkomponenten Φ_κ in der Richtung y können als bekannt vorausgesetzt werden:

Φ = C₁ !exp(u,x/u) ± exp( - u,

U₁ Xja) + C₃ sin( — u-,χΐα);... ·α< χ < ti = C₂COS(M₁XZfI) i Cjsin(U|X/fi);... —« < χ < — ii/
= C₄ exp ( - U₁XJu);... «< χ
= ± C₄ (CXp(U₁XJa):... χ < — a .

(Il

2.τίΐ , , Pc= -^- \"\ -«5-

Dann sind: a der Radius des Kerns des Wellenleiters, λ die Wellenlänge des zu leitenden Lichts, n, der Brechungsindex des Kerns 1 und lh der Brechungsindex des Mantels 2. lsi v- nicht größer a!s 2.405. so kann sich nur die Grundwelle HEu ausbreiten. Dam!- sich nur die Grundwelle des Lichts ausbreiten kann, müssen die Größen a, n_t und rti so gewählt werden, daß sie die Bedingung v< 2,405 erfüllen. Die Indexdifferenz zwischen Kern und Mantel wird auf etwa ein Prozent eingestellt, um die Übertragungscharakteristik der Faser stabil zu machen. Dabei wird jedoch der Wert von a sehr klein (einige (im). Damit wird die Verbindung zwischen den Fasern und die Einleitung des Lichts aus einer Lichtquelle in die Faser schwierig.

Im Gegensatz dazu ist die erfindungsgemäßi.-Lichtübertragungsleitung (optische Faser) gemäß den F i g. 2A, 2B und 2C aufgebaut F i g. 2A und 2B zeigen einen Querschnitt bzw. eine Seitenansicht der Faser, F i g. 2C zeigt das Verteilungsdiagramm des Brechungsindex. Die in den Fig.2A und 2B gezeigte optische Faser enthält einen Kern 3, eine erste Schicht 4 und eine zweite Schicht (5). Die erste Schicht 4 ist zylindrisch und hohl. Merkmal dieses. Aufbaus ist, da der Brechungsindex des Kerns 3 wesentlich geringer ist als der der ersten und der zweiten Schicht.

Zur Vereinfachung der weiteren Beschreibung sei angenommen, daß die Lichtübertragungsleitung aus einer plattenförmigen Leitung mit symmetrischer Fünfsdvcht-Struktur besteht. Da die Analyse des zylindrischen Typs im allgemeinen sehr kompliziert ist. werden häufig die Eigenschaften anhand der plattenförmigen Übertragungsleitung erläutert Auch im Rahmen der vorliegenden Erf-ndung sind die Transmissions-Eigenschaften der plattenförmigen Übertragungsleitung anwendbar.

F i g. 3A und 3B zeigen eine plattenförmige Übertragungsleitung aus fünf symmetrischen Schichten. F i g. 3A zeigt emen Querschnitt der Lichtübertragungsleitung, F i g. 3B in einem Diagramm die Verteilung des Brechungsindex in Richtung χ der F i g. 3A.

Entsprechend F i g. 2A und 2B sind der Kern mit 3', die erste Schicht mit 4' und die zweiie Schicht mit 5' bezeichnet. Es sei angenommen, daß sich das Licht in der Richtung ζ ausbreitet. Die Länge von der Mitte des Kerns zur Innenwand der ersten Schicht 4' ist mit §a bezeichnet die Länge von der Mitte zur Außenwand der ersten Schicht 4' mit a Die Brechungsindices der Teile 3', 4' und 5' sei^n qn, π bzw. pn. Die Stärke der zweiten Schicht 5' sei unendlich. Bei diesem Wellenleiter bestehen eine elektrische Transversalwelle TE und eine Hierin ist der Ausbreitungsausdruck
exp [Hßz- wij(

weggelassen. Ci bis Q sind unbekannte Koeffizienten. u„ lh und ih die normierten Ausbreituosskonstamen in den Schichten 3', 4' und 5'. Das Doppelzeichen (±) entspricht der geraden bzw. ungeraden Welle. Φ, entspricht den y-Komponenten des elektrische;: Feldes der elektrischen Transversalwelle und des magnetischen Feldes der magnetischen Transversalwelle.

(U₄ Ulf + kj = - (M₁ZtI)²

, = ifnk\,: A-, = »A,,: k, —

Darin ist c die Lichtgeschwindigkeit und ω die Winkelfrequenz des Lichts. Aus den obigen Beziehungen ergibt sich folgendes:

uj = A¹Ir₁+ B²Ir₁: B² = ' ~ ^</2

Die normicrtL Frequenz r ist folgendermaßen definiert:

= uf f u\ = (Af - A₂V = (I -

An den Grenzllächen soll die tangential Feldkomponente stetig sein. Berechnet man unter Benutzung der Maxwellschen Gleichungen die anderen tangential™ Komponenten rnd setzt in Gleichung (1) ein, so erhält man folgende Bestimmungsgleichungen:

Für die TE-WeIIe:

u, u₂ 4- U₁

tan(l - i)u, =

Kür die TM-WcMe:

1I²U₁U₂ +P²Il₁U, [<£*) SlI,

-«.■"ι (ϊϊϊ) ί«.·

tan (I - s)u, =

(6)

Im Ausdruck (ί«ί) gilt tanh für die gerade und coth für die ungerade Welle.

Als Grenzbedingung für die Ausbreitung des Lichts gilt t/2 = 0. to

DabeF wird nach Gleichung (4) die normierte Frequenz ν gleich ti,. Dies ist die Grenzfrequenz V₁-. Die Grenzfrequenzen ergeben sich für TF. und TM aus den Gleichungen (5), (6) und (7):

land - S) r_r =

Λ tanh i A r,: (gerade Welle)
A coth SAr,: (ungerade Welle)

'₂ tanh i /11,: (gerade Welle)

(9)

, coth i/ir, (ungerade Welle)

Demnach sind die Werte v_e der geraden und ungeraden Welle fast koinzident, wenn ξΑ in den obigen ji> Gleichungen groß genug ist (weil dann coth ξ/4 = tanh £/4 = 1). Zwischen der TE- und der TAf-WeIIe besteht lediglich der Unterschied, daß die Koeffizienten der TM-Wellen K -mal größer sind als die der TE-Wellen.

<r r.

Diese können als im wesentlichen degeneriert oder entartet betrachtet werden.

Demzufolge können die gerade Welle TEo, die ungerade Welle TEu die gerade Welle TMo und die ungerade Welle TM\ (sogenannte Grundwellengrup- w pen) als im wesentlichen entartet, d.h. in ihren Ausbreitungseigenschaften als identisch betrachtet werden.

Die Bedingung, unter der sich nur die Grundwellengruppe ausbreitet ist folglich: 4",

2* an |l -f

- 2(1 - ί

(10)

Im Falle des bekannten Wellenleiters nach Fig. 1 ist t = 0. Obwohl in diesem Fall TEo und 7Mo im wesentlichen entarten, weil die Indexdifferenz zwischen der ersten und der zweiten Schicht groß ist, entarten TE\ und TM\ nicht. Die Ausbreitungseigenschaften sind für TEb und TMo annähernd gleich, während sie sich für TEt und TMi unterscheiden. Die Bedingung, unter der sich nur die Wellen TEo und TMb ausbreiten, ergibt sich für einen Wellenleiter mit einfachem Mantel (entsprechendf = 0)zu: eo

2nan η-p²

(H)

Der Unterschied zwischen dem erfindungsgemäßen Grundwellenbetrieb und dem bekannten ist in den Diagrammen der F i g. 4A und 4B dargestellt. F i g. 4A entspricht eirrem erfindungsgemäßen und Fig.4B einem bekannten optischen Wellenleiter. In Fig.4A sind die Ausbreitungseigenschaften der Wellen TMo, TFt und TMi annähernd der Welle TEa der niedrigen Ordnung gleich. Nur diese Wellen breiten sich in dem Bereich aus, in dem ν bis zu

3 π
2(1-ί)

beträgt. Beim bekannten dreischichtigen Plattenleiter ist nur TMo etwa gleich der Welle TEo der niedngsten Ordnung, so daß sich nur TE₀ und TM_n in dem Bereich ausbreiten, indem ν bis zu ij beträgt.

Der fünfschichtige plattenförmige Wellenleiter ist daher an der oberen Grenze des Grundwellenbereichs

um das _T —- -fache größer als der dreischichtige Plallenleiier. Die Kerngrößc des erfindungsgemäßen

Wellenleiters ϊϊαΠΓι diäö ϋϊΐϊ uää 3/(1 -g)-faCnc gi'uuef gewählt werden als beim dreischichtigen Plattenleiter mit einfachem Mantel. Beispielsweise ist bei £ = 0,9 a 30mal größer.

Obwohl, wie erwähnt, die Wellenausbreitung nicht in Form einer einzigen Welle in der Lichtübertragiingsleitur-g gemäß der Erfindung erfolgt, entarten die Wellen höherer Moden, z. B. TM₀. TE, und TM₁, zu TE₀. Ihre Werte nähern sich sehr stark der Phasenkonstanten der TGi-W-JIe. Die Gruppenverzögerungsdifferenz Δτ unter den Wellen ist sehr gering. Breiten sich die Wellen TEo, TE,, TMo und TMi in dem fünfschichtigen Plattenleiter aus, εο macht die Gruppenverzögerungsdifferenz bei einer Ausbreitung um einen km über die Lichtübertragungsleitung nur etwa 0,01 ns aus.

Zur Degeneration der Ausbreitungsmoden und um die Gruppenlaufzeitdifferenz Δτ bei dem vorstehend beschriebenen Aufbau möglichst gering zu halten, sollte, wie sich aus dem obigen Ausdruck ergibt, q möglichst klein sein, wozu die Luft zu berücksichtigen ist. Bei einem hohlen Aufbau wird der durch das Material bedingte Lichtverlust minimal. Auch die Herstellung der erfindungsgemäßen optischen Faser gemäß F i g. 2A bis 2C ist sehr einfach. Die Herstellung der optischen Faser gemäß Fig. 2A bis 2C kann derart erfolgen, daß eine große Stange, deren Querschnittsform der der F i g. 2A ähnelt und deren Brechungsindex sich gemäß Fig. 2C verhält, verwendet wird, wobei die Stange durch Erhitzung von ihrem einen Ende ausgezogen wird. Dabei behält die ausgezogene Faser ihre ursprüngliche Form. Erfindungsgemäß kann also eine Faser vorherbestimmter Form einfach hergestellt werden, indem lediglich ein derartiges Verfahren angewandt wird, wobei das Innere (erste Schicht) nicht eigens geöffnet zu werden braucht. Ferner muß der Wert von (1 — fp) mit dem Konstruktionswert übereinstimmen. In diesem Zusammenhang kann darauf hingewiesen werden, daß die Schicht (4) auf einfache Weise durch chemische Aufdampfung hergestellt werden kann. Die Lichtübertragungsleitung kann auf einfache Weise hergestellt werden, indem dieser Verfahrensschritt mit dem obigen Herstellungsverfahren kombiniert wird.

F i g. 5 zeigt die Verteilung der Brechungsindices bei einem Ausführungsbeispiel der erfindungsgemäßen Lichtübertragungsleitung. Dieses Ausführungsbeispiel hat den gleichen Aufbau wie das der Fig.2A. Im Diagramm der F i g. 5 ist auf der Abszisse die Länge in Richtung des Durchmessers und auf der Ordinate der Brechungsindex aufgetragen. Die verschiedenen Werte

der Länge und des Brechungsindex sind in der Figur erwähnt.

Fig.6 zeigt ein weiteres Ausführungsbeispiel der erfindungsgemäßen Lichtübertragungsleitung. Infolge der Art der Herstellung ändern sich die Brechungsindi- "> ces des Kerns und des Mantels kontinuierlich. Die Übertragungseigenschaften dieser Leitung sind im wesentlichen gleich denen der Leitung gemäß F i g. 5.

Fi-;. 7 zeigt ein Ausführungsbeispiel der Herstellung eines 'jrfindungsgemäßen optischen Wellenleiters. Ein n> hohles Glasrohr 11 mit hohem Siliciumdioxidgehalt mil einem Innendurchmesser von 8 mm und ^inem Außendurchmesser von IO mm wird auf einem Quar/probenständer 12 in einem Quarzglasrohr 21 gelegt. Ein Venlil 14 wird geöffnet und das Rohr 21 mittels einer r> umlaufenden Pumpe 15 evakuiert. Das Quarzrohr 21 wird mittels eines elektrischen Ofens 10 auf 740°C erhitzt.

Nach Feststellung cirvs Vakuums von etwa 4 P;i mittels eines Vakuum-Meiigeräts 1.3 wird ein Ventil IH ί> geöffnet. Tetraäthoxysilan 19 ; Is Quelle zur Bildung von SiO₂, das auf Umgebungstemperatur gehalten wird, füllt das Innere des Quarzrohrs mit einem Dampfdruck von einigen hundert Pa durch Öffnung des Ventils 18 aus. Dm eine ausreichende Tetraäthoxysilan-Dampfströ- _>-, mung zu erreichen, wird die öffnung des Ventils 14 gesteuert. Durch das eingeleitete Tetraäthoxysilan entsteht durch thermische Zersetzung SiO₂, das auf der Innen- und Außenwand des hohlen Glasrohrs 11 mit hohem Siliziumdioxidgehalt aufwächst. Die Stärke des im gebildeten Films ist abhängig von der Temperatur, bei der !ie thermische Zersetzung abläuft, und von der Zeit. Beispielsweise entsteht innerhalb von fünf Stunden ein SiO>-Film von etwa IO pm Stärke durch die Reaktion in dem auf 740⁰C gehaltenen Ofen. Nach Beendigung der r< Ausbildung des Films wird das Ventil 14 geschlossen und ein Ventil 9 geöffnet, so daß Stickstoffgas entweichen kann. Darauf wird das Glasrohr 11 herausgenommen. Nachfolgend wird der auf der Außenwand des hohlen Glasrohr ausgebildete SiOj-FiIm entfernt. Wie in F i g. 8 gezeigt, wird das Rohr in erhitztem und geschmolzenem Zustand von einem Ende aus gestreckt, so daß der Querschnitt vermindert wird. Dabei wird der auf der Innenwand des hohlen Glasrohrs in einer Stärke von einigen IO pm ausgebildete SiOj-FiIm einige pm stark, ·»> Damit ergibt sich die hohle Faser 24, wie sie in den F 1 g. 2A und 2B dargestellt ist.

Statt Glas mit hohem Siliziumdioxidgehalt als Material für den Mantel kann auch Glas mit niedrigen Verlusten wie Quarzglas verwendet werden. Auf Material zur Herstellung des SiO2-Films können Lösungen aus organischen Silanverbindungen wie

(C₂H₅O)₄Si.

Äthyltriäthoxysilan (C₂H₅)Si(C₂H₅O)₁,
Amyltriäthoxysilan C₅HnSi(C₂HoO)),
Vinyltriäthoxysilan CH₂ = CHSi(C₂H₅O)J,
Phenyltriäthoxysilan C₆H₅Si(C₂H₅O)J,
Dimethyldiäthoxysilan (CHj)₂Si(C₂H₅O)₂ und
Diphenyldiäthoxysilan (Cf₁Hi

verwendet werden.

Um den Brechungsindex des das Kernmaterial bildenden SiO₂-FiImS auf einen vorherbestimmten Wert zu bringen, kann ein Störstoff wie B, Ba, P, Li und Na zugefügt werden.

Als Material zur Einstellung des Brechungsindex werden metallkrhe Verbindungen ηιις Ας Ii R P Ra Na, Ga usw. verwendet. F i g. 9 zeigt ein Beispiel für das Verhalten des Brechungsindex bei Zugabe dieser Materialien zum SiO₂-FiIm.

Fig. 10 zeigt ein Beispiel für die Herstellung aus einem Material für die hohle Faser, das auf das Dampfreaktionsverfahren zurückgeht. Gemäß Fig. IO wird ein hohles Glasrohr 25 mit einem Außendurchmesser von IO mm und einem Innendurchmesser von S mm mittels eines elektrischen Ofens 26 auf 450"C erhitzt. Durch das Innere des Rohrs 25 wird von einem Ventil 27 Stickstoffgas mit einem Durchsatz von 3 l/min zugeführt. Ferner wird von einem Ventil 28 Sauerstoff mit einem Durchsatz von 250 l/min und aus einem Behälter 31 über ein Ventil 29 SiH₄ mit einem Durchsatz von 750 ml/min zugeführt, das durch den Stickstoff verdünnt wird und eine Konzentration von 4% hat. Damit wächst auf der Innenwand des hohlen Rohrs 25 ein SiO₂-FiIm. Die Stärke des aufgebrachten Films ist abhängig von den Durchflußmengen der Gase. Im vorliegenden Fall bildet sich innerhalb 30 Minuten ein SiO₂-FiIm mit einer Stärke von etwa 3 pm. Nachdem der SiO₂-FiIm auf der Innenwand des hohlen Rohrs eine Stärke von einigen 10 pm erreicht hat, wird nach dem vorstehend beschriebenen Verfahren ein hohler Wellenleiter hergestellt.

Bei diesem Herstellungsverfahren können an Stelle von SiH₄ auch SiCI₄, SiBr usw. verwendet werden.

Hierzu 4 Blatt Zeidinunüen

Claims

Patentansprüche:

1, Optischer Wellenleiter, bestehend aus einem zylindrischen Kern vom Brechungsindex qn=l, einer diesen umgebenden lichtleitenden ersten Schlicht vom Brechungsindex π und einer auf die erste Schicht aufgebrachten zweiten Schicht vom Brechungsindex pn, dadurch gekennzeichnet, daß das Verhältnis ξ von Innenradius £a zu AuEienradius a der ersten Schicht (4) folgender Beziehung genügt: