DE60020603T2

DE60020603T2 - Komprimierung und komprimierte inversion von interaktionsdaten

Info

Publication number: DE60020603T2
Application number: DE60020603T
Authority: DE
Inventors: X. Francis Canning
Original assignee: CANNING FRANCIS
Current assignee: CANNING FRANCIS
Priority date: 2000-01-10
Filing date: 2000-12-14
Publication date: 2006-05-04
Anticipated expiration: 2020-12-15
Also published as: WO2001052422A1; US7742900B1; US20060265200A1; EP1249073B1; ATE297073T1; DE60020603D1; US20060195306A1; AU2001221008A1; EP1249073A1

Description

Hintergrund der Erfindung
Gebiet der Erfindung
Die Erfindung betrifft Verfahren zum Komprimieren von gespeicherten Daten und Verfahren zur Manipulation der komprimierten Daten in numerischen Lösungen, bei denen zahlreiche gegenseitige Wechselwirkungen betroffen sind, insbesondere dann, wenn die Art dieser Wechselwirkungen sich einer asymptotischen Form für große Distanzen nähert wie beispielsweise bei Antennenproblemen, die unter Anwendung der Momentmethode gelöst werden.
Beschreibung des Stands der Technik
Viele numerische Techniken basieren auf einer "Teile-und-herrsche"-Strategie, wobei eine komplexe Struktur oder ein komplexes Problem in eine Reihe von kleineren, leichter zu lösenden Problemen aufgeteilt wird. Solche Strategien sind besonders nützlich zur Lösung von Integralgleichungsproblemen, bei denen Strahlung, Wärmeübertragung, Streuung, mechanische Beanspruchungen, Schwingungen und dergleichen betroffen sind. Bei einer typischen Lösung wird eine größere Struktur in eine Reihe von kleineren Strukturen aufgeteilt, die als Elemente bezeichnet werden, und die Kopplung oder Wechselwirkung zwischen jedem Element und jedem anderen Element wird errechnet. Wenn beispielsweise eine Struktur in 16 Elemente unterteilt wird, kann die gegenseitige Zwischenelement-Wechselwirkung (oder Kopplung) zwischen jedem Element und jedem weiteren Element als eine 16 × 16-Wechselwirkungsmatrix ausgedrückt werden.
Mit zunehmender Leistungsfähigkeit von Rechnern bzw. Computern werden solche Elementbasierten numerischen Techniken immer wichtiger. Wenn es jedoch notwendig ist, gleichzeitig viele oder alle gegenseitigen Wechselwirkungen zu verfolgen, wächst die Zahl solcher Wechselwirkungen sehr rasch. Die Wechselwirkungsmatrix wird häufig so groß, daß Datenkomprimierungs-Schemata vorteilhaft oder sogar unbedingt erforderlich sind. Auch kann die Zahl der Rechneroperationen zur Verarbeitung der in der Wechselwirkungsmatrix gespeicherten Daten exzessiv werden. Die Geschwindigkeit des Kompressionsschemas ist ebenfalls wichtig, und zwar speziell dann, wenn die Daten in der Wechselwirkungsmatrix dekomprimiert werden müssen, bevor sie genutzt werden können.
Insbesondere bei Problemen vom Strahlungstyp, was Schall, Schwingungen, Spannungen, Temperatur, elektromagnetische Strahlung und dergleichen betrifft, ist es typisch, daß Elemente, die physisch nahe beieinander sind, starke Wechselwirkungen erzeugen. Elemente, die relativ weit voneinander entfernt sind (gewöhnlich dann, wenn Distanz als eine Größe, Wellenlänge oder eine ähnliche Einheit im metrischen System bezeichnet wird), koppeln gewöhnlich weniger stark. Wenn man beispielsweise den von einem Lautsprecher ausgehenden Schall beschreibt, ändert der Schall seinen Charakter relativ rasch in der Umgebung dieses Lautsprechers. Wenn eine sehr nahe bei dem Lautsprecher stehende Person sich um einen Fuß weiter nähert, kann der Schall merklich lauter werden. Wenn diese Person jedoch am anderen Ende eines Raums sitzt und sich um einen Fuß weiter nähert, ist die Lautstärkeänderung des Schalls relativ gering. Das ist ein Beispiel einer allgemeinen Eigenschaft vieler physikalischer Systeme. Bei der Beschreibung der Wechselwirkung von zwei nahen Objekten werden häufig relativ mehr Details für eine genaue Beschreibung benötigt, wogegen relativ weniger Details erforderlich sind, wenn die beiden Objekte weiter voneinander entfernt sind.
Als weiteres Beispiel sei ein Lautsprecher betrachtet, der Schall im Inneren eines Raums erzeugt. Zur Bestimmung der Intensität des Schalls im gesamten Raum kann man die Bewegung (die Schwingungen) der Wände und Objekte in dem Raum berechnen. Typischerweise umfaßt eine solche Berechnung die Wahl einer großen Zahl von gleichmäßig beabstandeten Stellen in dem Raum und die Bestimmung, wie jede Stelle vibriert. Die Schwingung an jeder einzelnen Stelle ist eine Schallquelle, die typischerweise mit jeder anderen Stelle in dem Raum reagiert. Die Zahl solcher Wechselwirkungen wäre sehr groß, und der zugehörige Speicherplatz, der notwendig wäre, um solche Wechselwirkungen zu beschreiben, kann unverhältnismäßig groß werden. Außerdem kann auch der rechnerische Aufwand zur Lösung der Matrix von Wechselwirkungen untragbar werden.
Ein früheres Verfahren zur Komprimierung von Wechselwirkungsdaten wurde in dem Aufsatz von Francis Canning und Kevin Rogovin beschrieben in "Fast Direct Solution of Standard Momentmethod Matrices", IEEE AP Magazine, Vol. 40, Nr. 3, Juni 1998, S. 15–26. Diese Methode verwendete eine Singulärwert-Zerlegung (SVD=Singular Value Decomposition), die wiederholt bei aufeinanderfolgenden Anteilen (oder Untermatrizen) der Wechselwirkungsdaten angewandt wurde. Jede SVD komprimierte den speziellen Anteil oder die Untermatrix, bei der die SVD angewandt wurde. Diese Methode hat jedoch eine wesentliche Einschränkung, da jede Singulärwert-Zerlegung neue Freiheitsgrade für die Basisfunktion und für die Prüffunktionen erzeugt. Die neuen Freiheitsgrade für eine Gruppe von Basisfunktionen können zwar eine Komprimierung innerhalb der bestimmten neuen Freiheitsgrade erlauben, die einer bestimmten Gruppe von Prüffunktionen zugeordnet sind, jedoch nicht für die neuen Freiheitsgrade, die anderen Gruppen von Prüffunktionen zugeordnet sind.
Zusammenfassung der Erfindung
Die vorliegende Erfindung löst diese und weitere Probleme durch Bereitstellung eines Komprimierungsschemas für Wechselwirkungsdaten und eines effizienten Verfahrens zum Verarbeiten der komprimierten Daten, ohne daß es notwendig ist, die Daten zuerst zu dekomprimieren. Anders ausgedrückt, können die Daten in ihrem komprimierten Zustand numerisch manipuliert werden.
Dies wird durch das Verfahren zur Datenkomprimierung gemäß dem Patentanspruch 1 erreicht.
Beschreibung der Figuren
Die Vorteile und Merkmale der hier angegebenen Erfindung sind für den Fachmann aus der nachstehenden genauen Beschreibung im Zusammenhang mit den unten aufgeführten Zeichnungen ohne weiteres ersichtlich.
1A zeigt einen Draht oder Stab, der eine physikalische Eigenschaft (z. B. einen Strom, eine Temperatur, eine Schwingung, eine Spannung usw.) I() entlang seiner Länge hat, wobei die Gestalt von I() unbekannt ist.
1B zeigt den Draht von 1A, der in vier Segmente unterteilt ist, wobei die Funktion I() durch drei bekannte Basisfunktionen f₁() angenähert worden ist und wobei jede Basisfunktion mit einer unbekannten Konstanten I_i multipliziert wird.
1C zeigt eine stückweise lineare Approximierung an die Funktion I(), nachdem die Konstanten I_i bestimmt worden sind.
2 ist ein Flußdiagramm, das die Prozeßschritte zeigt, die angewandt werden, um eine komprimierte (dünnbesiedelte Block-)Wechselwirkungsmatrix zu erzeugen.
3 zeigt die Aufteilung eines Körpers in Bereiche.
4 zeigt ein Beispiel einer Wechselwirkungsmatrix (vor der Umwandlung) für einen in fünf unterschiedlich große Bereiche aufgeteilten Körper.
5 zeigt ein Beispiel einer Wechselwirkungsmatrix nach der Umwandlung (aber vor der Umordnung) für einen Körper, der in fünf gleich große Bereiche aufgeteilt ist.
6 zeigt ein Beispiel einer Wechselwirkungsmatrix nach der Umwandlung und Umordnung für einen Körper, der in fünf gleich große Bereiche aufgeteilt ist.
7 zeigt die dünnbesiedelte Diagonalblockmatrix D^R.
8 ist ein Diagramm, das die Genauigkeitsziffern zeigt, die nach dem Verkürzen der Basisfunktionen für einen Block der gesamten Wechselwirkungsmatrix erhalten wurden, und zwar mit einer Blockgröße von 67 × 93.
10, die aus den 10A und 10B besteht, ist ein Flußdiagramm und zeigt den Prozeß des Erzeugens einer komprimierten (dünnbesiedelten Block-)Impedanzmatrix in Verbindung mit einem herkömmlichen Momentmethoden-Computerprogramm.
11 ist ein dreidimensionales Diagramm und zeigt Größen der Einträge in einen 67 × 93 Elementblock der Wechselwirkungsmatrix (vor der Umwandlung) für ein Drahtgittermodell unter Anwendung der Momentmethode.
12 ist ein dreidimensionales Diagramm und zeigt Größen der Einträge der Wechselwirkungsmatrix von 11 nach der Umwandlung.
In den Figuren bezeichnet die erste Ziffer jeder dreiziffrigen Zahl im allgemeinen die Nummer der Figur, in der das Element erstmals erscheint. Wenn Bezugszeichen verwendet werden, bezeichnen die beiden ersten Ziffern die Nummer der Figur.
Genaue Beschreibung
Viele physikalische Erscheinungen weisen Quellen auf, die eine Störung erzeugen, etwa ein elektromagnetisches Feld, eine elektromagnetische Welle, eine Schallwelle, Vibrationen, ein statisches Feld (z. B. ein elektrostatisches Feld, magnetostatisches Feld, Schwerkraftfeld usw.) und dergleichen. Beispiele von Quellen umfassen ein bewegtes Objekt (etwa einen Lautsprecher, der Schallwellen in der Luft anregt) und einen elektrischen Strom (der elektrische und magnetische Felder erregt) usw. Beispielsweise erzeugen die an einer Antenne bewegten elektrischen Ströme elektromagnetische Wellen. Viele Quellen erzeugen Störungen sowohl nahe der Quelle als auch in einer Entfernung von der Quelle.
Es ist manchmal zweckmäßig, Störungen so zu betrachten, als ob sie von einer äquivalenten Quelle (z. B. einer fiktiven Quelle) und nicht von einer echten physischen Quelle erzeugt werden. Beispielsweise gibt es in den meisten Bereichen des Raums (beispielsweise einem Materievolumen) eine große Zahl von positiven elektrischen Ladungen und eine große Zahl von negativen elektrischen Ladungen. Diese positiven und negativen Ladungen heben einander nahezu exakt auf. Es ist üblich, Berechnungen unter Anwendung einer fiktiven Ladung durchzuführen, welche die Nettodifferenz zwischen der positiven und der negativen Ladung ist, die über den Bereich des Raums gemittelt ist. Diese fiktive Ladung kann gewöhnlich nicht mit einem bestimmten positiven oder negativen Partikel identifiziert werden.
Ein magnetischer Strom ist ein weiteres Beispiel einer fiktiven Quelle, das häufig verwendet wird. Es wird allgemein davon ausgegangen, daß magnetische Monopole und magnetische Ströme nicht existieren (wogegen elektrische Monopole und elektrische Ströme tatsächlich existieren). Dennoch ist es bekannt, wie man elektrische Ströme mathematisch mit äquivalenten magnetischen Strömen in Beziehung setzt, um die gleichen elektromagnetischen Wellen zu erzeugen. Die Verwendung von magnetischen Quellen wird weitgehend akzeptiert und hat sich für bestimmte Berechnungsarten als sehr nützlich erwiesen. Es ist manchmal unzweckmäßig, eine Quelle zu verwenden, die eine bestimmte Kombination von elektrischen und magnetischen Quellen ist. Eine Verteilung von Quellen über einen Bereich des Raums kann ebenfalls als eine Quelle genutzt werden. Die hier verwendeten Ausdrücke "Quellen" und "physikalische Quellen" sollen alle Arten von tatsächlichen und/oder fiktiven Quellen umfassen.
Eine physische Quelle an einem Ort erzeugt typischerweise eine Störung, die sich zu einem Sensor (oder Prüfer) an einem anderen Ort ausbreitet bzw. fortpflanzt. Mathematisch wird die Wechselwirkung zwischen einer Quelle und einem Prüfer häufig als ein Kopplungskoeffizient ausgedrückt (gewöhnlich als eine komplexe Zahl, die einen realen Teil und einen imaginären Teil hat). Die Kopplungskoeffizienten zwischen einer Anzahl von Quellen und einer Anzahl von Prüfern werden gewöhnlich als ein Feld (oder eine Matrix) von komplexen Zahlen ausgedrückt. Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung umfassen effiziente Verfahren für die Berechnung dieser komplexen Zahlen, für das Speichern dieser komplexen Zahlen und für Berechnungen unter Nutzung dieser komplexen Zahlen.
Die sogenannte Momentmethode (MoM) ist ein Beispiel eines numerischen Analyseprozesses, der Wechselwirkungen zwischen Quellenfunktionen und Prüfungsfunktionen nutzt, um ein Problem numerisch zu lösen, welches das Finden einer unbekannten Funktion involviert (d. h. wobei die Lösung die Bestimmung einer Funktion von einer oder mehreren Variablen erfordert). Die MoM wird hier beispielhaft und nicht als Einschränkung angewandt. Der Fachmann erkennt, daß die MoM eine von vielen Arten von numerischen Techniken ist, um Probleme zu lösen, etwa Differentialgleichungen und Integralgleichungen, in denen eine der Unbekannten eine Funktion ist. Die MoM ist ein Beispiel einer Klasse von Lösungstechniken, wobei ein schwierigeres oder unlösbares Problem in eines oder mehrere miteinander in Beziehung stehende, jedoch einfachere Probleme aufgeteilt wird. Ein anderes Beispiel dieser Klasse von Lösungstechniken ist die Nyström-Methode. Die einfacheren Probleme werden unter Beachtung der bekannten Beziehungen zwischen den einfacheren Problemen gelöst, und die Lösungen werden kombiniert, um eine approximierte Lösung des ursprünglichen, schwierigeren Problems zu erzeugen.
Beispielsweise zeigt 1A einen Draht oder Stab 100, der eine physikalische Eigenschaft (z. B. einen Strom, eine Temperatur, eine mechanische Spannung, eine Spannung, eine Schwingung, eine Verlagerung usw.) entlang seiner Länge hat. Ein Ausdruck für die physikalische Eigenschaft ist als eine unbekannte Funktion I() gezeigt. Das Problem besteht darin, I() unter Anwendung der MoM oder einer ähnlichen "Teile-und-herrsche"-Art von Technik zu berechnen. Beispielhaft wird bei vielen physikalischen Problemen, die Temperatur, Vibration oder elektrische Eigenschaften usw. involvieren, I() durch eine Integralgleichung der folgenden Art beschrieben: E(R) = ∫I(l)G(l,R)dl
Dabei ist G(l,R) überall bekannt, und E(R) ist für bestimmte Werte von R bekannt. Unter vielen Umständen ist G(l,R) eine Greensche Funktion, die auf der unterliegenden Physik des Problems basiert, und der Wert von E(R) ist nur an Rändern bekannt (wegen bekannter Randbedingungen). Die obige Gleichung ist gewöhnlich nicht leicht zu lösen, weil I() nicht bekannt ist, und daher kann die Integration nicht durchgeführt werden. Die vorstehende Integralgleichung kann zwar in eine Differentialgleichung umgewandelt werden (indem die Ableitung beider Seiten genommen wird), aber das führt nicht unmittelbar zu einer Lösung. Ohne Rücksicht darauf, ob die obige Gleichung als eine Integralgleichung oder eine Differentialgleichung ausgedrückt wird, kann die Gleichung numerisch nach I() gelöst werden durch Erzeugen einer Menge von einfacheren, aber miteinander in Beziehung stehenden Problemen, wie nachstehend beschrieben wird (unter der Voraussetzung, daß G(l,R) bestimmte mathematische Eigenschaften besitzt, die dem Fachmann bekannt sind).
Wie 1B zeigt, wird zum Berechnen einer numerischen Approximierung für U() der Draht 100 zuerst in vier Segmente 101 bis 104 unterteilt, und Basisfunktionen f₁(), f₂() und f₃() werden gewählt. In 1B sind die Basisfunktionen als dreieckförmige Funktionen gezeigt, die sich über Paare von Segmenten erstrecken. Die unbekannte Funktion U() kann dann wie folgt approximiert werden: I(l) ≈ I1f1(l) + I2f2(l) + I3f3(l)wobei I₁, I₂ und I₃ unbekannte komplexe Konstanten sind. Eine Approximierung von I() auf diese Weise transformiert das ursprüngliche Problem von einem Problem des Findens einer unbekannten Funktion in ein Problem des Findens von drei unbekannten Konstanten. Die obige Approximierung für I() wird in die obige ursprüngliche Integralgleichung eingefügt und ergibt: E(R) = ∫I1f1(l)G(l,R)dl + ∫I2f2(l)G(l,R)dl + ∫I3f3(l)G(l,R)dl
Die obigen Integrale können nunmehr ausgeführt werden, weil die funktionelle Form der Integranden sämtlich bekannt sind (G(l,R) wurde durch das zu lösende Problem bestimmt, die Funktionen f₁() wurden ausgewählt, und die Konstanten I₁, I₂ und I₃ können von den Integralen nach außen bewegt werden). Dadurch wird jedoch das Problem noch nicht gelöst, weil die Werte von I₁, I₂ und I₃ immer noch unbekannt sind.
Wie oben angedeutet wird, ist der Wert von E(R) glücklicherweise gewöhnlich an verschiedenen spezifischen Stellen (z. B. an Rändern) bekannt. Daher können drei Gleichungen geschrieben werden, indem drei Stellen R ₁, R ₂, R ₃ ausgewählt werden, an denen der Wert von E(R) bekannt ist. Unter Nutzung dieser drei ausgewählten Stellen kann die obige Gleichung dreimal wie folgt geschrieben werden: E(R 1) = I1∫f1(l)G(l,R 1)dl + I2∫f2(l)G(l,R 1)dl + I3∫f3(l)G(l,R 1)dl E(R 2) = I1∫f1(l)G(l,R 2)dl + I2∫f2(l)G(l,R 2)dl + I3∫f3(l)G(l,R 2)dl E(R 3) = I1∫f1(l)G(l,R 3)dl + I2∫f2(l)G(l,R 3)dl + I3∫f3(l)G(l,R 3)dl
Anstelle der Wahl von drei spezifischen Stellen für E(R) ist es bekannt, daß die Genauigkeit der Lösung häufig verbessert wird durch Integration von bekannten Werten von E(R) unter Anwendung einer Gewichtungsfunktion über den Integrationsbereich. Wenn beispielsweise angenommen wird, daß E(R) entlang der Oberfläche des Drahts 100 bekannt ist, dann können nach Wahl von drei Gewichtungsfunktionen g₁(), g₂() und g₃() die gewünschten drei Gleichungen in drei Unbekannten wie folgt geschrieben werden (durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit g_i() und Integration): ∫E(l')g1(l')dl' = I1∫∫f1(l)g1(l')G(l,l')dldl' + I2∫∫f2(l)g1(l')G(l,l')dldl' + I3∫∫f3(l)g1(l')G(l,l')dldl' ∫E(l')g2(l')dl' = I1∫∫f1(l)g2(l')G(l,l')dldl' + I2∫∫f2(l)g2(l')G(l,l')dldl' + I3∫∫f3(l)g2(l')G(l,l')dldl' ∫E(l')g3(l')dl' = I1∫∫f1(l)g3(l')G(l,l')dldl' + I2∫∫f2(l)g3(l')G(l,l')dldl' + I3∫∫f3(l)g3(l')G(l,l')dldl'
Es ist zu beachten, daß die obigen Doppelintegralgleichungen zu der Einfachintegralform reduziert werden, wenn die Gewichtungsfunktionen g_i() durch Deltafunktionen ersetzt werden.
Die drei Gleichungen in drei Unbekannten können in Matrixform wie folgt geschrieben werden: V = ZIoder
Vi = ∫E(l')gi(l')dl'wobei und Zij = ∫∫fj(l)gi(l')G(l,l')dldl
Die Auflösung der Matrixgleichung ergibt die Werte von I₁, I₂ und I₃. Die Werte von I₁, I₂ und I₃ können dann in die Gleichung I(l) ≈ I₁f(l) + I₂f₂(l) + I₃f₃(l) eingefügt werden, um eine Approximierung für I() zu ergeben. Wenn die Basisfunktionen Dreiecksfunktionen sind, wie in 1B gezeigt, dann ist die resultierende Approximierung für I() eine stückweise lineare Approximierung, wie 1C zeigt. Die I_i sind die Unbekannten, und die V_i sind die Bedingungen (typischerweise sind die V_i Bekannte). Häufig gibt es die gleiche Anzahl von Bedingungen wie Unbekannten. In anderen Fällen gibt es mehr Bedingungen als Unbekannte oder weniger Bedingungen als Unbekannte.
Die Genauigkeit der Lösung wird weitgehend durch die Gestalt der Basisfunktionen, durch die Gestalt der Gewichtungsfunktionen und durch die Zahl von Unbekannten bestimmt (die Zahl von Unbekannten entspricht gewöhnlich der Zahl von Basisfunktionen).
Anders als die oben beschriebene Momentmethode verwenden manche Techniken keine expliziten Basisfunktionen, sondern verwenden statt dessen implizite Basisfunktionen oder basisähnliche Funktionen. Beispielsweise erzeugt die Nyström-Methode einen Zahlenwert für ein Integral unter Verwendung von Werten des Integranden an diskreten Punkten und einer Quadraturregel. Die Nyström-Methode verwendet zwar nicht explizit eine Erweiterung in Form von expliziten Basisfunktionen, in einem physikalischen Sinn werden aber dennoch Basisfunktionen noch verwendet (auch wenn die Verwendung implizit ist). Das heißt, die Erregung einer Unbekannten erzeugt irgendeine Reaktion im gesamten Raum. Auch wenn das Berechnungsverfahren nicht explizit eine Basisfunktion verwendet, besteht eine gewisse physische Erregung, die annähernd die gleichen Reaktionen erzeugt. Alle diese Techniken sind ähnlich, und der Fachmann erkennt, daß solche Techniken mit der vorliegenden Erfindung angewandt werden können. Daher soll der Ausdruck "Basisfunktion" im vorliegenden Zusammenhang solche implizit verwendeten Basisfunktionen einschließen. Gleichermaßen können die Prüfer implizit verwendet werden.
Bei der Lösung der meisten physikalischen Probleme (z. B. Strom, Spannung, Temperatur, Schwingung, Kraft usw.) besteht die Tendenz, daß die Basisfunktionen mathematische Beschreibungen der Quelle einer physischen Störung sind. Daher wird der Ausdruck "Quelle" häufig verwendet, um eine Basisfunktion zu bezeichnen. Gleichermaßen werden bei physikalischen Problemen die Gewichtungsfunktionen oft einem Empfänger oder Sensor der Störung zugeordnet, und daher wird der Ausdruck "Prüfer" oft verwendet, um die Gewichtungsfunktionen zu bezeichnen.
Wie oben in Verbindung mit den 1A bis 1C beschrieben wird, ist es bei numerischen Lösungen häufig zweckmäßig, eine physische Struktur oder ein Raumvolumen in eine Reihe von kleineren Teilen aufzuteilen und die Teile einer oder mehreren Quellen und Prüfern zuzuordnen. Bei einer Ausführungsform ist es auch zweckmäßig, die Struktur (oder das Volumen) in Bereiche aufzuteilen, wobei jeder Bereich eine Gruppe der kleineren Teile enthält. Innerhalb eines gegebenen Bereichs wird eine Anzahl von Quellen gewählt, um mit ausreichenden Details lokale Wechselwirkungen zwischen Quellen und Prüfern innerhalb dieses Bereichs zu beschreiben. Eine gleiche oder etwas kleinere Anzahl von Quellen in einem gegebenen Bereich reicht im allgemeinen aus, um Wechselwirkungen zwischen Quellen in dem Quellenbereich und Prüfern in den relativ in der Nähe liegenden Bereichen zu beschreiben. Wenn die geeigneten Quellen verwendet werden, genügt häufig eine noch kleinere Anzahl Quellen, um Wechselwirkungen zwischen dem Quellenbereich und Prüfern in Bereichen zu beschreiben, die nicht relativ nah sind (d. h. Bereichen, die von dem Quellenbereich relativ weit entfernt sind).
Ausführungsbeispiele der vorliegenden Erfindung umfassen Verfahren und Techniken zum Finden von zusammengesetzten Quellen. Zusammengesetzte Quellen werden anstelle der Originalquellen in einem Bereich verwendet, so daß eine reduzierte Zahl von zusammengesetzten Quellen benötigt wird, um die Wechselwirkungen mit einer gewünschten Genauigkeit zu berechnen.
Bei einem Ausführungsbeispiel sind die zusammengesetzten Quellen für einen ersten Bereich die gleichen, und zwar ohne Rücksicht darauf, ob die zusammengesetzten Quellen in dem ersten Bereich mit einem zweiten Bereich, einem dritten Bereich oder anderen Bereichen in Wechselwirkung sind. Die durchgehende Verwendung derselben zusammengesetzten Quellen führt zu effizienten Methoden der Zerlegung und zur Lösung der Wechselwirkungsmatrix.
Wenn man die Quellen in dem ersten Bereich betrachtet, so ist eine Art von Quelle der sogenannte Multipol, wie er bei einer Multipolentwicklung verwendet wird. Quellen wie Wavelets sind ebenfalls nützlich. In manchen Fällen erlauben Wavelets die Verwendung einer reduzierten Anzahl von zusammengesetzten Quellen, um Wechselwirkungen mit entfernten Bereichen zu beschreiben. Es gibt jedoch Nachteile bei Wavelet- und Multipol-Vorgehensweisen. Wavelets sind häufig schwierig zu verwenden, und ihre Verwendung verlangt oft ausgedehnte Modifikationen an bestehenden oder vorgeschlagenen Computerprogrammen. Die Implementierung von Wavelets an nicht-glatten und nicht-planaren Körpern ist schwierig.
Multipol-Entwicklungen haben Stabilitätsprobleme für schmale Bereiche. Außerdem kann zwar eine Multipol-Entwicklung angewandt werden, um Wechselwirkungen mit entfernten Bereichen zu beschreiben, aber es treten schwerwiegende Probleme bei der Verwendung von Multipolen zum Beschreiben von Wechselwirkungen innerhalb eines Bereichs oder zwischen räumlich nahen Bereichen auf. Das erschwert eine Faktorisierung der Wechsehvirkungsmatrix. Es kann sehr schwierig sein zu bestimmen, wie Informationen in einer Wechselwirkungsmatrix in eine Wavelet- oder Multipol-Darstellung umgewandelt werden sollen.
2 ist ein Flußdiagramm, das eine Komprimierungstechnik 200 zeigt zum Komprimieren einer Wechselwirkungsmatrix durch die Kombination von Gruppen von Quellen und Gruppen von Prüfern zu zusammengesetzten Quellen und Prüfern. Die Verwendung von zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfern erlaubt die Umwandlung der ursprünglichen Wechselwirkungsmatrix in eine dünn besiedelte Blockmatrix mit bestimmten erwünschten Eigenschaften.
Ausführungsbeispiele der vorliegenden Erfindung umfassen eine Technik zum Berechnen und Nutzen von zusammengesetzten Quellen, um eine Wechselwirkungsmatrix zu komprimieren, indem die Wechselwirkungsmatrix in eine dünnbesiedelte Blockmatrix umgewandelt wird. Die vorliegende Technik ist mit existierenden und vorgeschlagenen Computerprogrammen kompatibel. Sie funktioniert sogar bei rauben Oberflächen und unregelmäßigen Gittern von Orten. Für einen gegebenen Bereich erlauben die zusammengesetzten Quellen die Berechnung einer Störung (z. B. Strahlung), die von der Quelle erzeugt wird, in einem gesamten gewünschten Raumvolumen. Eine reduzierte Anzahl dieser zusammengesetzten Quellen genügt, um (mit einer gewünschten Genauigkeit) Störungen an anderen, relativ entfernten Bereichen zu berechnen. Diese Methode der Komprimierung von Wechselwirkungsdaten kann mit vielen verschiedenen Berechnungsmethoden angewandt werden, z. B. einer LU-Faktorisierung (LU=untere Halbmatrix/obere Halbmatrix) einer Matrix oder als eine vorkonditionierte Iteration eines konjugierten Gradienten. In vielen Fällen können die Berechnungen unter Verwendung des komprimierten Speicherformats durchgeführt werden.
2 ist ein Flußdiagramm 200, das die Schritte zur Lösung eines numerischen Problems unter Anwendung von zusammengesetzten Quellen zeigt. Das Flußdiagramm 200 beginnt in einem Schritt 201, in dem eine Anzahl von Originalquellen und Originalprüfern zu Gruppen zusammengefaßt werden, wobei jede Gruppe einem Bereich entspricht. Jedes Element der Wechselwirkungsmatrix beschreibt eine Wechselwirkung (eine Kopplung) zwischen einer Quelle. und einem Prüfer. Die Quelle und der Prüfer sind gewöhnlich zum Teil durch ihre Orte im Raum definiert. Die Quellen und Prüfer werden entsprechend ihren Orten im Raum gruppiert. Bei einem Ausführungsbeispiel wird eine Anzahl von Raumbereichen definiert. Ein Referenzpunkt wird für jeden Bereich gewählt. Typischerweise liegt der Referenzpunkt nahe dem Mittelpunkt des Bereichs. Die Quellen und Prüfer werden zu den Bereichen gruppiert durch Vergleichen des Orts der Quelle oder des Prüfers mit dem Referenzpunkt für jeden Bereich. Jede Quelle oder jeder Prüfer wird als in dem Bereich befindlich betrachtet, der dem Referenzpunkt zugeordnet ist, der dem Ort am nächsten ist. (Der Zweckmäßigkeit halber wird der Ausdruck "Ort" nachstehend verwendet, um auf den Ort bzw. die Lokation einer Quelle oder eines Prüfers Bezug zu nehmen.)
Andere Methoden zum Gruppieren der Quellen und Prüfer (d. h. des Zuordnens von Orten zu Bereichen) können ebenfalls verwendet werden. Der Vorgang des Definierens der Bereiche ist problemabhängig, und in einigen Fällen ergibt sich eine geeignete Menge von Bereichen durch das Problem selbst. Wenn beispielsweise die Quellen und Prüfer an der Oberfläche einer Kugel liegen, werden krummling-quadratische Bereiche vorgeschlagen. Wenn die Quellen und Prüfer in einem Raumvolumen liegen, sind häufig kubische Bereiche brauchbar. Wenn die Quellen und Prüfer an einer komplexen dreidimensionalen Oberfläche liegen, sind häufig dreieckige flächenstückartige Bereiche brauchbar.
Im allgemeinen ist die Weise, wie die Bereiche definiert werden, nicht kritisch, und das angewandte Verfahren zum Definieren der Bereiche basiert weitgehend auf Zweckmäßigkeit. Gewöhnlich wird es jedoch bevorzugt, die Bereiche so zu definieren, daß die Orte jedes Bereichs relativ nahe beieinander sind, und so, daß es relativ wenige Orte von anderen Bereichen nahe einem gegebenen Bereich gibt. Anders ausgedrückt, wird die Effizienz des Komprimierungsalgorithmus im allgemeinen verbessert, wenn die Bereiche voneinander so weit getrennt sind, wie das in sinnvoller Weise möglich ist. Selbstverständlich können benachbarte Bereiche häufig nicht vermieden werden, und wenn Bereiche einander benachbart sind, sind Orte nahe dem Rand eines Bereichs auch nahe einigen Orten in einem benachbarten Bereich. Dennoch wird die Komprimierung im allgemeinen verbessert, wenn Bereiche in einem vertretbaren Maß so definiert sind, daß sie weder schlank noch ineinander verschlungen noch einander benachbart sind. Beispielsweise zeigt 3 ein Raumvolumen, das zu einem rechteckigen Kasten 300 aufgeteilt ist, der elf Bereiche A bis K hat, die Referenzpunkten 301 bis 311 entsprechen.
Wie 2 zeigt, geht der Prozeß nach Schritt 201 zu einem Schritt 202 weiter. In Schritt 202 werden die Unbekannten umnumeriert, und zwar entweder explizit oder implizit, so daß Orte innerhalb desselben Bereichs konsekutiv numeriert werden. Es ist einfacher, diese Beschreibung so fortzusetzen, als ob die Umnumerierung tatsächlich explizit durchgeführt worden wäre. Die folgende Analyse kann jedoch auch ohne explizite Umnumerierung ausgeführt werden.
Der Ausdruck "sphärische Winkel" bzw. "Kugelwinkel" wird hier verwendet, um diese Winkel zu bezeichnen. Der Fachmann erkennt, daß dann, wenn ein zweidimensionales Problem zu lösen ist, die Kugelwinkel sich zu einem planaren Winkel reduzieren. Ebenso erkennt der Fachmann, daß dann, wenn ein höher-dimensionales Problem gelöst werden soll (wie beispielsweise ein vierdimensionaler Raum, der drei Dimensionen für Position und eine Dimension für Zeit hat), der Ausdruck Kugelwinkel die Verallgemeinerung des dreidimensionalen Winkels in einen vierdimensionalen Raum bezeichnet. Daher wird hier im allgemeinen der Ausdruck Kugelwinkel verwendet, um den Gedanken eines "raumfüllenden" Winkels für das zu lösende physikalische Problem zu bezeichnen.
Nach dem Umnumerieren geht der Prozeß zu Block 203, wo eine oder mehrere zusammengesetzte Quellen für jeden Bereich bestimmt werden. Wenn es p unabhängige Quellen innerhalb eines Bereichs gibt, dann können q zusammengesetzte Quellen konstruiert werden (wobei q ≤ p). Die Konstruktion von zusammengesetzten Quellen beginnt mit der Bestimmung einer relativ dichten Menge von Fernfeldmustern (gewöhnlich in einem sphärischen Koordinatensystem beschrieben) in relativ großen Entfernungen von dem Bereich. Im vorliegenden Zusammenhang bezieht sich Fernfeld auf das Feld in einem Bereich, in dem das Feld als ein asymptotisches Verhalten approximiert werden kann. Bei einer Ausführungsform umfaßt beispielsweise das Fernfeld einer Antenne oder eines anderen elektromagnetischen Strahlers das Feld in einer gewissen Entfernung von der Antenne, wobei die Entfernung relativ größer als die elektrische Größe der Antenne ist.
Für jede unabhängige Quelle wird ein Fernfeldmuster konstruiert. Im vorliegenden Zusammenhang bedeutet 'dicht' die Vermeidung von irgendwelchen zu großen Zwischenräumen in den Kugelwinkeln, die zum Berechnen der Menge von Störungen verwendet werden. Dicht bedeutet außerdem, daß dann, wenn die Störung durch einen Vektor dargestellt ist, jede Vektorkomponente dargestellt wird. Beispielsweise könnte man für ein skalares Problem p Kugelwinkel wählen. Diese Winkel sind typischerweise im wesentlichen gleichbeabstandet, und die Bereiche von Winkeln umfassen die Wechselwirkungswinkel, die in der usprünglichen Wechselwirkungsmatrix erscheinen (wenn sämtliche der in der Originalmatrix beschriebenen Wechselwirkungen innerhalb einer Ebene liegen, kann man Richtungen nur innerhalb dieser Ebene und nicht über eine vollständige Kugel wählen).
Die Fernfelddaten werden in einer Matrix s gespeichert, die p Spalten (eine Spalte für jeden Quellenort innerhalb des Bereichs) und Zeilen, die Winkeln zugeordnet sind, hat. Jede Quelle ist zwar logisch einem Ort in einem gegebenen Bereich zugeordnet, diese Quellen liegen aber nicht notwendigerweise vollständig innerhalb dieses Bereichs. Jede Quelle entspricht zwar einem Ort (und jeder Ort ist einem Bereich zugeordnet), aber Quellen, die eine physische Ausdehnung haben, können sich über mehr als einen Bereich erstrecken. Die Einträge in der Matrix s können beispielsweise die Feldgröße oder -größen sein, die von jeder Quelle ausgehen. Es ist erwünscht, daß die Feldgröße(n) so gewählt wird/werden, daß dann, wenn sie bei irgendeinem Winkel Null ist bzw. sind, für eine gewünschte Approximierung alle abgestrahlten Größen bei diesem Winkel Null sind. Es ist zwar typischerweise erwünscht, daß die Winkel relativ gleichbeabstandet sind, aber große Abweichungen von gleichen Abständen können akzeptabel sein.
Diese zusammengesetzten Quellen haben den Charakter von äquivalenten Quellen. Eine kleinere Zahl von zusammengesetzten Quellen im Vergleich mit der Anzahl von Quellen, die sie ersetzen, kann für Raumbereiche, die von dem von diesen Quellen eingenommenen Bereich entfernt sind, gleichartige Störungen erzeugen.
Wie oben beschrieben wird, werden Quellen zu Gruppen von Quellen zusammengefaßt, wobei jede Gruppe einem Bereich zugeordnet ist. Für jede Gruppe von Quellen wird eine Gruppe von zusammengesetzten Quellen berechnet. Die zusammengesetzte Quelle hat den Charakter einer äquivalenten Quelle, die in Bereichen des Raums, die von dem Bereich entfernt sind, der von der dadurch ersetzten Gruppe eingenommen wird, ein Fernfeld (eine Störung) erzeugt, die ähnlich dem Feld ist, das von der dadurch ersetzten Gruppe erzeugt wird. Somit erzeugt eine zusammengesetzte Quelle (oder eine Kombination von zusammengesetzten Quellen) auf effiziente Weise die gleichen ungefähren Wirkungen wie die Gruppe von Originalquellen unter gewünschten Kugelwinkeln und in einer relativ großen Distanz. Zur Erzielung einer relativ großen Distanz ist es häufig nützlich, eine begrenzende Form zu verwenden, da die Störung sich relativ weit von ihrer Quelle entfernt.
Jede zusammengesetzte Quelle ist typischerweise eine lineare Kombination von einer oder mehreren der Originalquellen. Eine Matrixmethode wird angewandt, um zusammengesetzte Quellen zu finden, die stark senden, und zusammengesetzte Quellen zu finden, die schwach senden. Diese zusammengesetzten Quellen werden aus den Originalquellen konstruiert. Die angewandte Matrixmethode zum Finden von zusammengesetzten Quellen kann eine den Rang offenbarende Faktorisierung wie etwa eine Singulärwertzerlegung sein. Für eine Singulärwertzerlegung ergibt die den Quellen zugeordnete einheitliche Umwandlung die zusammengesetzten Quellen als eine lineare Kombination von Quellen.
Abwandlungen der vorstehenden Erläuterungen sind möglich. Beispielsweise kann man die Singulärwertzerlegung auf die Transponierte der s-Matrix anwenden. Man kann eine Lanczos-Bidiagonalisierung oder verwandte Matrixmethoden anstelle einer Singulärwertzerlegung anwenden. Es gibt andere bekannte Methoden zum Berechnen einer niederrangigen Approximierung an eine Matrix. Einige Beispiele für die Anwendung der Lanczos-Bidiagonalisierung sind von Francis Canning und Kevin Rogovin angegeben in "Fast Direct Solution of Standard Moment-Method Matrices", IEEE AP Magazine, Vol. 40, Nr. 3, Juni 1998, S. 15 bis 26.
Es gibt viele bekannte Methoden zum Berechnen einer rangreduzierten Approximierung an eine Matrix. Eine rangreduzierte Approximierung an eine Matrix ist ebenfalls eine Matrix. Eine rangreduzierte Matrix mit m Spalten kann mit jedem Vektor der Länge m multipliziert werden. Zusammengesetzte Quellen, die schwach senden, sind im allgemeinen dem Raum von Vektoren zugeordnet, für die das Produkt relativ klein ist (z. B. ist bei einem Ausführungsbeispiel das Produkt Null oder nahe Null). Zusammengesetzte Quellen, die stark senden, sind im allgemeinen dem Raum von Vektoren zugeordnet, für die dieses Produkt nicht notwendigerweise klein ist.
Zusammengesetzte Quellen können sich über mehr als einen Bereich erstrecken. Bei einem Ausführungsbeispiel wird das erreicht durch Anwendung der Technik, die mit Malvar-Wavelets (auch als lokale Kosinusse bezeichnet) angewandt wird, um Fourier-Transformierte an disjunkten Intervallen zu überlappten orthogonalen Funktionen zu erweitern.
Der Durchschnittsfachmann weiß, wie Nahfeldresultate zu Fernfeldresultaten in Beziehung stehen. Eine Beziehung zwischen Nahfeld und Fernfeld kann unmittelbar genutzt werden, um die oben beschriebene Methode, die Fernfelddaten verwendet, in eine Methode umzuwandeln, die Nahfelddaten verwendet. Es ist zu beachten, daß "Fernfeld", wie es hier gebraucht wird, nicht der traditionellen 2d²/λ-Fernfeldapproximierung entsprechen muß. Distanzen, die näher als 2d²/λ sind, können verwendet werden (obwohl nähere Distanzen typischerweise mehr zusammengesetzte Quellen benötigen, um eine gewünschte Genauigkeit erzielen zu können). Eine Distanz, die der Distanz zu anderen physischen Bereichen entspricht, ist gewöhnlich entfernt genug, und selbst kürzere Distanzen können akzeptabel sein.
Nachdem zusammengesetzte Quellen gefunden sind, geht der Prozeß zu einem Schritt 204 weiter, in dem zusammengesetzte Prüfer gefunden werden. Zusammengesetzte Prüfer werden auf eine analoge Weise zu derjenigen gefunden, wie zusammengesetzte Quellen gefunden werden. Es sei daran erinnert, daß zusammengesetzte Quellen gefunden werden unter Anwendung der Weise, wie Quellen der Wechselwirkungsmatrix zu entfernten Orten "senden". Zusammengesetzte Prüfer werden gefunden unter Anwendung der Weise, wie die Prüfer der Wechselwirkungsmatrix von einer dichten Gruppe von Richtungen für eine entfernte Störung "empfangen". Es ist hilfreich, wenn die empfangene Größe oder Größen, die verwendet werden, relativ alle Feldgrößen aufweisen, ausgenommen (fakultativ) diejenigen, die sehr schwach empfangen werden. Wenn beispielsweise elektromagnetische Strahlung von einer entfernten Quelle empfangen wird, ist die Längskomponente annähernd Null und kann häufig vernachlässigt werden. Eine Matrix R, die beschreibt, wie diese Prüfer empfangen, wird gebildet. Eine Matrixmethode wird angewandt, um zusammengesetzte Prüfer, die stark empfangen, und Prüfer, die schwach empfangen, zu konstruieren. Die Matrixmethode kann eine den Rang offenbarende Faktorisierung wie etwa eine Singulärwertzerlegung sein. Eine Singulärwertzerlegung gibt die zusammengesetzten Prüfer als eine lineare Kombination der Prüfer wieder, die in der Originalmatrixbeschreibung verwendet worden waren.
Nachdem zusammengesetzte Quellen und Prüfer gefunden sind, geht der Prozeß zu einem Schritt 205 oder einem Schritt 215 weiter, in dem die Wechselwirkungsmatrix umgewandelt wird, um zusammengesetzte Quellen und Prüfer zu verwenden. Die Schritte 205 und 215 sind Alternativen. 4 zeigt ein Beispiel einer Wechselwirkungsmatrix 400, die 28 Unbekannte (28 Quellen und 28 Prüfer) hat, die in fünf physische Bereiche gruppiert sind (mit I bis V bezeichnet). Der schraffierte Block 401 der Matrix 400 repräsentiert die Wechselwirkung für Quellen in dem vierten Bereich (Bereich IV) und Prüfer in dem zweiten Bereich (Bereich II). Die Wechselwirkung von einem Paar von Bereichen beschreibt einen Block in der Wechselwirkungsmatrix 400. Die Blöcke der transformierten Matrix können zu jeder Zeit berechnet werden, nachdem die zusammengesetzten Funktionen sowohl für ihre Quellen- als auch ihre Prüferbereiche gefunden sind. Das bedeutet, daß der Block 401 berechnet werden kann, nachdem zusammengesetzte Quellen für den Bereich IV und Prüfer für den Bereich II gefunden sind.
Schritt 215 von 2 zeigt eine Methode zum Berechnen sämtlicher Blöcke in der Matrix 400 durch Berechnen der Elemente für diese Blöcke unter Anwendung der Originalquellen und Prüfer. Dann geht der Prozeß zu einem fakultativen Schritt 216 weiter, wo diese Blöcke in eine Beschreibung in Form der zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfer umgewandelt werden.
Ein Vorteil der Verwendung von zusammengesetzten Quellen und Prüfern ist, daß viele Elemente in der umgewandelten Matrix Null sind. Anstatt der Umwandlung in eine Beschreibung unter Anwendung zusammengesetzter Moden zeigt der Schritt 205 daher die Berechnung des umgewandelten Blocks direkt unter Verwendung der zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfer (ohne zuerst den Block unter Verwendung der Originalquellen und -prüfer zu berechnen). Anders ausgedrückt, werden die zusammengesetzten Quellen als Basisfunktionen genutzt, und die zusammengesetzten Prüfer werden als Gewichtungsfunktionen genutzt. Innerhalb jedes Blocks werden Elemente, von denen von vornherein bekannt ist, daß sie Null (oder sehr klein) sind, nicht berechnet.
Weitere Einsparungen hinsichtlich des notwendigen Speicherplatzes sind möglich. Nachdem jeder Block umgewandelt worden ist, werden nur die größten Elemente behalten. Für die Elemente, die annähernd Null sind, braucht kein Speicherplatz genutzt zu werden. Viele Arten von Blockstrukturen einschließlich unregelmäßiger Blöcke und Mehrstufenstrukturen können ebenfalls durch die Anwendung dieser Methode zum Speichern einer dünnbesiedelten Blockmatrix verbessert werden. Das resultiert gewöhnlich in einer weniger regelmäßigen Blockstruktur. Als Alternative ist es außerdem möglich, einen Teil der Wechselwirkungsdaten unter Anwendung von zusammengesetzten Quellen und Prüfern zu speichern und einen oder mehrere andere Teile der Daten unter Anwendung eines anderen Verfahrens zu speichern.
Die Nichtnull-Elemente der Wechselwirkungsmatrix treten typischerweise in Mustern auf. Nach Schritt 205 oder nach Schritt 216 geht der Prozeß zu einem Schritt 206 weiter, wo die Wechsehvirkungsmatrix umgeordnet wird, um regelmäßige Muster zu bilden. Für einen gleichförmigeren Fall, bei dem sämtliche Bereiche die gleiche Zahl von Quellen haben, ist die resultierende transformierte Matrix T in 5 gezeigt. 5 zeigt Nicht-Nullelemente schraffiert und Nullelemente unschraffiert. Wenn nur ein komprimiertes Speicherschema gewünscht wird, kann der Prozeß hier beendet werden. Wenn jedoch der Umkehrwert dieser Matrix oder so etwas wie ihre LU-Faktorisierung (Untere-Obere-Dreiecksfaktorisierung) berechnet werden soll, kann eine Umordnung nützlich sein.
Die Reihen und Spalten der Wechselwirkungsmatrix können umgeordnet werden, um eine Matrix T´` in der in 6 gezeigten Form zu erzeugen. Diese Permutation verschiebt die zusammengesetzten Quellen, die stark senden, zum unteren Ende der Matrix und verschiebt die zusammengesetzten Prüfer, die stark empfangen, zur rechten Seite der Matrix. Die Wechselwirkung zwischen zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfern ist derart, daß die Größe der Matrixelemente von vornherein geschätzt werden kann. Ein Matrixelement, das einer Wechselwirkung zwischen einer stark strahlenden zusammengesetzten Quelle und einem stark empfangenden zusammengesetzten Prüfer entspricht, wird relativ groß sein. Ein Matrixelement, das einer Wechselwirkung zwischen einer stark strahlenden zusammengesetzten Quelle und einem schwach empfangenden zusammengesetzten Prüfer entspricht, wird relativ klein sein. Ein Matrixelement, das einer Wechselwirkung zwischen einer schwach strahlenden zusammengesetzten Quelle und einem stark empfangenden zusammengesetzten Prüfer entspricht, wird ebenfalls relativ klein sein. Ein Matrixelement, das einer Wechselwirkung zwischen einer schwach strahlenden zusammengesetzten Quelle und einem schwach empfangenden zusammengesetzten Prüfer entspricht, wird sehr klein sein.
Die umgeordnete Matrix T´` hat häufig die Tendenz zu einer Bandform. Dabei tendieren die Nicht-Nullelemente im größten Teil der Matrix dazu, in einem Band nahe der Diagonalen zu sein. Bei einer Matrix dieser Form gibt es viele existierende LU-Zerleger für eine dünnbesiedelte Matrix und andere Matrixlöser, die gut funktionieren. Die in 6 gezeigte Ordnung ist ein Beispiel. Die LU-Zerlegung der Matrix T´` kann mit Standardlösern für eine dünnbesiedelte Matrix sehr rasch berechnet werden. Die Matrizen L und U der LU-Zerlegung sind selbst dünnbesiedelt. Für Probleme, die bestimmte Arten von Erregungen involvieren, wird nur ein Teil der Matrizen L und U benötigt, und dies kann zu weiteren Einsparungen des benötigten Speicherplatzes führen.
Nach dem Umordnen geht der Prozeß 200 zu einem Schritt 207, wo das lineare Matrixproblem gelöst wird. Das zu lösende Matrixproblem wird wie folgt geschrieben: T´`G = Hwobei der Vektor H die Erregung darstellt und der Vektor G die gewünschte Lösung für zusammengesetzte Quellen ist. Die Erregung ist die physikalische Ursache der Schall-, Temperatur-, elektromagnetischen Wellen oder eben der jeweiligen zu berechnenden Erscheinung. Wenn die Erregung sehr entfernt ist (z. B. für eine ebene Wellenquelle), hat H eine spezielle Form. Wenn der Vektor H vertikal (als ein Spaltenvektor) entlang der Matrix von 6 plaziert ist, sind die wenigen unteren Elemente von H entlang dem Block 602 relativ groß, und die verbleibenden Elemente von H sind annähernd gleich Null. Die verbleibenden Elemente von H sind annähernd Null, weil die zusammengesetzten Prüfer die Freiheitsgrade entsprechend danach trennen, wie stark sie mit einer entfernten Quelle in Wechselwirkung treten.
Wenn T´` mittels LU-Zerlegung zerlegt wird, dann gilt: T´` = LU; LUG = H;und dies wird durch den folgenden, zwei Schritte aufweisenden Prozeß gelöst:
Schritt I: Finden von X in LX = H
Schritt II: Finden von G in UG = X
Die Matrix L ist eine untere Dreiecksmatrix (was bedeutet, daß Elemente oberhalb ihrer Diagonalen Null sind). Daraus folgt unmittelbar, daß dann, wenn nur die wenigen unteren Elemente von H nicht Null sind, nur die unteren Elemente von X nicht Null sind. Infolgedessen wird nur der untere rechte Teil von L benötigt, um G zu berechnen. Die verbleibenden Teile von L wurden zum Berechnen dieses unteren rechten Teils angewandt, brauchen aber nicht während des gesamten Prozesses des Berechnens der LU-Zerlegung beibehalten zu werden. Das resultiert nicht nur in verringertem Speicherplatz, sondern auch in einer rascheren Berechnung für den obigen Schritt I.
Wenn nur das durch ein Objekt gestreute Fernfeld gefunden werden muß, sind weitere Leistungssteigerungen möglich. In diesem Fall ist es nur erforderlich, die unteren Elemente von G zu finden entsprechend den unteren Nicht-Nullelementen von H. Dies kann erfolgen, indem nur der untere rechte Teil der oberen Dreieckmatrix U genutzt wird. Das resultiert in Leistungssteigerungen ähnlich denen, die für L erhalten werden.
Für andere Arten von Erregungen sind gleichartige Einsparungen ebenfalls möglich. Beispielsweise ist bei vielen Antennentypen, ob sie akustisch oder elektromagnetisch sind, die Erregung innerhalb eines aktiven Bereichs lokalisiert, und der Rest der Antenne wirkt als passive Streueinrichtung. In diesem Fall kann der aktive Bereich so angeordnet werden, daß er in der Matrix von 6 so weit wie möglich unten und so weit wie möglich rechts dargestellt wird. Dadurch ergeben sich Leistungssteigerungen ähnlichen denen für die entfernte Erregung.
Eine Umordnung von Reihen und eine Umordnung von Spalten der Matrix T von 5 ergibt die Matrix T´` von 6. Diese Umordnungen sind einem zusätzlichen Umordnen der Unbekannten äquivalent. Somit ergibt eine Lösung oder LU-Zerlegung der Matrix T´` von 6 nicht unmittelbar eine Lösung des Problems für die Originaldaten. Es werden mehrere zusätzliche Schritte angewandt. Diese Schritte umfassen: Einschließen der Wirkungen von zwei Permutationen der Unbekannten; und auch Einschließen der Wirkung der Umwandlung von den Originalquellen und -prüfern zu der Anwendung der zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfer.
Direkte Methoden (wie etwa die LU-Zerlegung) und iterative Methoden können beide angewandt werden, um die vorliegende Matrixgleichung zu lösen. Eine iterative Lösung mit der komprimierten Form der Matrix kann auch mit weniger Computeroperationen als beim Stand der Technik angewandt werden. Viele iterative Methoden machen die Berechnung des Produkts einer Matrix und eines Vektors für jede Iteration notwendig. Da die komprimierte Matrix viele Nullelemente (oder Elemente, die durch Null approximiert werden können) hat, kann das unter Verwendung der komprimierten Matrix rascher durchgeführt werden. Daher kann jede Iteration rascher und mit weniger Speicherplatz als bei Anwendung der nicht komprimierten Matrix durchgeführt werden.
Das komprimierte Format von T´` hat einen weiteren Vorteil. In vielen Fällen gibt es eine Möglichkeit, die Anzahl von notwendigen Iterationen erheblich zu verringern, was in weiteren Steigerungen der Geschwindigkeit resultiert. Beispielsweise bei der Methode der konjugierten Gradienten hängt die Zahl der Iterationen, die zum Erzielen einer gegebenen Genauigkeit notwendig sind, von der Bedingungszahl der Matrix ab. (Die Bedingungszahl einer Matrix ist definiert als ihr größter Einzelwert, dividiert durch ihren kleinsten Einzelwert.) Physikalische Probleme haben eine Längenskala, und eine Interpretation dieser zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfer involviert die Längenskalen. Diese zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfer können als eine Längenskala auf der Basis einer Fourier-Transformierten beschrieben werden. Diese physikalische Tatsache kann genutzt werden, um die Bedingungszahl der Matrix zu verbessern und somit auch die Konvergenzgeschwindigkeit der iterativen Methode zu verbessern.
Eine zusammengesetzte Quelle ist eine Funktion der räumlichen Position, und ihre Fourier-Transformierte ist eine Funktion der "räumlichen Frequenz". Zusammengesetzte Quellen, die schwach senden, tendieren dazu, eine Fourier-Transformierte zu haben, die groß ist, wenn der Absolutwert dieser räumlichen Frequenz groß ist. Es gibt eine Korrelation zwischen der Größe dieser räumlichen Frequenz und der Kleinheit der kleinen singulären Werte der Matrix. Diese Korrelation wird bei der vorliegenden Erfindung genutzt, um eine Methode anzugeben, um eine Konvergenz in weniger Iterationen zu erreichen.
Zwei Matrizen P^R und P^L sind als rechte und linke Vorkonditionierungs-Matrizen der komprimierten Matrix definiert. Jede Spalte der komprimierten Matrix ist einer zusammengesetzten Quelle zugeordnet. Diese zusammengesetzte Quelle kann gefunden werden unter Anwendung einer Matrizenalgebramethode wie etwa einer Rangoffenbarungs-Faktorisierung (z. B. einer Singulärwertzerlegung und dergleichen). Die Methode der Rangoffenbarungs-Faktorisierung liefert eine gewisse Anzeige der Stärke der Wechselwirkung zwischen dieser zusammengesetzten Quelle und anderen Störungen. Beispielsweise ist bei Anwendung einer Singulärwertzerlegung der zugehörige singuläre Wert zu dieser Stärke proportional. Die Diagonalmatrix P^R wird konstruiert durch die Wahl jedes Diagonalelements entsprechend der Stärke der Wechselwirkung für die entsprechende zusammengesetzte Quelle. Das Diagonalelement kann so gewählt werden, daß es der Umkehrwert der Quadratwurzel dieser Stärke ist. Gleichermaßen kann die Diagonalmatrix P^L konstruiert werden durch die Wahl jedes Diagonalelements entsprechend der Stärke der Wechselwirkung für seinen zugehörigen zusammengesetzten Prüfer. Beispielsweise kann das Diagonalelement so gewählt werden, daß es der Umkehrwert der Quadratwurzel dieser Stärke ist.
Wenn man die komprimierte Matrix mit T bezeichnet, dann ist die vorkonditionierte Matrix P = PLTPR
Die Matrix P hat häufig eine bessere (d. h. kleinere) Bedingungszahl als die Matrix T. Es gibt viele iterative Methoden, die eine raschere Konvergenz erreichen, wenn sie auf die vorkonditionierte Matrix P und nicht auf T angewandt werden.
Ein Ausführungsbeispiel der Komprimierungstechnik mit zusammengesetzten Quellen wird in Verbindung mit dem Computerprogramm NEC2 verwendet. Dieses Programm wurde im Lawrence Livermore National Laboratory während der Siebzigerjahre und der frühen Achtzigerjahre des zwanzigsten Jahrhunderts geschrieben. Das NEC2-Computerprogramm selbst und Handbücher, die seine Theorie und seinen Gebrauch beschreiben, sind über das Internet frei verfügbar. Die nachfolgende Entwicklung geht davon aus, daß NEC2 angewandt wird, um die elektromagnetischen Felder an einem Körper zu berechnen, der als ein Drahtgitter konstruiert ist.
NEC2 nutzt elektrische Ströme, die an einem Gitter von Drähten fließen, um ein Modell von elektromagnetischer Streuung und Antennenproblemen zu erstellen. Bei Standardgebrauch erzeugt NEC2 eine Wechselwirkungsmatrix, die hier als Z-Matrix bezeichnet wird. Die eigentlichen verwendeten Quellen sind etwas kompliziert. Es gibt wenigstens eine jedem Drahtsegment zugeordnete Quelle. Es besteht jedoch Überlappung, so daß eine Quelle Strom repräsentiert, der an mehr als einem Drahtsegment fließt. NEC2 verwendet ein Array CURX, um Werte der Erregung jeder Quelle zu speichern.
10 ist ein Flußdiagramm 1000, das den Prozeß der Anwendung von NEC2 mit zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfern zeigt. Das Flußdiagramm 1000 beginnt mit einem Schritt 1001, in dem der NEC2-Anwender wie üblich damit beginnt, Informationen über das Gitter von Drähten und Drahtsegmenten einzurichten. Der Prozeß geht dann zu einem Schritt 1002, um von NEC2 die Zahl der Drahtsegmente, ihre Orte (x,y,z- Koordinaten) und einen Einheitsvektor t ^ für jedes Segment zu erhalten. Der Vektor t ^ ist entlang dem Drahtsegment tangential in Richtung des elektrischen Stroms, der an dem Drahtsegment fließt.
Als nächstes wird in einem Schritt 1003 das Drahtgitter in numerierte Bereiche aufgeteilt. Eine Anzahl von Referenzpunkten wird gewählt. Die Referenzpunkte sind über das von dem Drahtgitter eingenommene Volumen grob gleichbeabstandet. Jedes Drahtsegment ist einem dieser Referenzpunkte am nächsten, und das Segment wird als in dem Bereich befindlich angesehen, der von dem nächstliegenden Referenzpunkt definiert ist. Bei einem Ausführungsbeispiel wird die Zahl solcher Punkte (und zugehöriger Bereiche) als die ganze Zahl gewählt, die der Quadratwurzel von N am nächsten ist (wobei N die Gesamtzahl von Segmenten ist). Dies ist häufig eine effektive Wahl, obwohl die optimale Anzahl von Punkten (und zugehörigen Bereichen) von vielen Faktoren abhängig ist, und daher können auch andere Werte verwendet werden. Bei einer Menge von N Segmenten hat jedes Drahtsegment einen Index, der von 1 bis N geht.
Nach dem Schritt 1003 geht der Prozeß zu einem Schritt 1004, in dem die Drähte durch Bereichsnummern sortiert werden. Nach dem Sortieren ist die Numerierung der Drähte von der Numerierung verschieden, die von NEC2 angewandt wird. Eine Abbildung zwischen den beiden Numerierungssystemen wird in einer Permutationstabelle gespeichert, die zwischen diesen verschiedenen Indizes für die Drahtsegmente eine Übersetzung ausführt. Bei Anwendung dieser neuen Numerierung von Segmenten wird ein Array "a" geschaffen, so daß a(p) der Index des letzten Drahtsegments des p-ten Bereichs ist (wobei aus Gründen der Zweckmäßigkeit a(0)=0 definiert ist).
Nach der Umnumerierung geht der Prozeß zu einem Schritt 1005, in dem zusammengesetzte Quellen und zusammengesetzte Prüfer für alle Bereiche errechnet werden. Der Quellenbereich p entspricht Unbekannten a(p–1) + 1 bis a(p) in der Ordnung. Man definiere M als M = a(p) – a(p–1). Man wähle M Richtungen im wesentlichen gleichbeabstandet im gesamten dreidimensionalen Raum. Anders ausgedrückt, man plaziere M grob gleichbeabstandete Punkte auf einer Kugel und betrachte dann die M Richtungen von dem Mittelpunkt der Kugel zu jedem Punkt. Die Reihenfolge der Richtungen ist unwichtig. Eine zweckmäßige Methode zur Wahl dieser Punkte gleicht dem Wählen von Punkten auf der Erde. Beispielsweise wähle man den Nord- und den Südpol als Punkte. Eine Reihe von geographischen Breiten werden für den Rest der Punkte verwendet. Für jede gewählte geographische Breite wähle man Punkte, die an einer Reihe von geographischen Längen gleichbeabstandet sind. Dies wird durchgeführt, damit die Distanz entlang der Erde zwischen Punkten entlang einer geographischen Breite ungefähr gleich wie die Distanz zwischen den die Punkte haltenden Breitenlinien ist. Es ist erwünscht, daß die Punkte gleichbeabstandet sind. Aber selbst relativ große Abweichungen von gleichen Abständen sind tolerierbar.
Man erzeugt nun eine Matrix A von komplexen Zahlen mit 2M Reihen und M Spalten. Bei m = 1 bis M und bei n = 1 bis M berechnet man jeweils gleichzeitig zwei Elemente dieser Matrix: das Element in Reihe m und Spalte n und auch das Element an Reihe m + M und Spalte n. Zur Berechnung dieser beiden Elemente füllt man zuerst das NEC2-Array CURX mit Null in jeder Position. Dann wird Position a(p–1) + b von CURX auf Eins gesetzt. Ein Wert von Eins bedeutet, daß nur eine Quellennummer a(p–1) + 1 erregt ist. Diese Quelle wird dem Drahtsegment mit dieser Zahl zugeordnet, selbst wenn sie sich auf benachbarte Segmente erstreckt. Die Matrix Z wird in Form dieser selben Quellen definiert. Dann ruft man die NEC2-Subroutine CABC(CURX) auf. Die Subroutine CABC erzeugt eine andere Darstellung der Quelle, aber die gleiche Darstellung, welche die NEC2-Subroutine FFLD verwendet. Diese Darstellung ist automatisch in NEC2 gespeichert. Die m-te Richtung, die vorher gewählt wurde, kann in sphärischen Koordinaten durch das Zahlenpaar (Theta, Phi) beschrieben werden. Nach Berechnung von Theta und Phi wird die NEC2-Subroutine FFLD(Theta,Phi,ETH,EPH) aufgerufen. Theta und Phi sind Eingänge ebenso wie die Resultate von CABC. Die Ausgänge von FFLD sind die komplexen Zahlen ETH und EPH. ETH und EPH sind proportional zu der Stärke des elektrischen Feldes im Fernfeld (weit entfernt von der Quelle) in der Theta- bzw. der Phi-Richtung. ETH wird in Reihe m und Spalte n, (m,n) von A plaziert. EPH wird in Reihe m + M und Spalte n von A plaziert. Alternativ gibt es andere Möglichkeiten zum Berechnen der durch FFLD erzeugten Zahlen ETH und EPH. Beispielsweise ist es für den Durchschnittsfachmann ersichtlich, daß die Subroutine FFLD modifiziert werden kann, um rascher eine Antwort zu erzeugen, indem die spezielle Form des Stroms genutzt wird, da die meisten Elemente in dem Strom Null sind.
Als nächstes wird eine Singulärwertzerlegung von A durchgeführt, so daß: A = UDVh wobei U und V unitäre Matrizen sind und D eine Diagonalmatrix ist. Die Matrix U wird nicht verwendet, und somit können Computeroperationen eingespart werden, indem U tatsächlich nicht berechnet wird. Die Matrix V hat M Reihen und M Spalten. Da diese Rechenvorgänge für den p-ten Bereich ausgeführt wurden, ist die quadratische Matrix d_pR definiert durch dpR = V
Der Grund für diese Wahl rührt aus der Tatsache, daß AV = UDund daß jede sukzessive Spalte des Produkts UD die Tendenz hat, in bezug auf die Größe kleiner zu werden. Sie werden kleiner, weil U unitär ist und die singulären Werte an der Diagonale von D abwärts entlang der Diagonale abnehmen.
Als nächstes wird eine N × N Diagonalblockmatrix D^R zusammengesetzt. Der erste Block entlang der Diagonalen entspricht dabei p = 1. Beginnend in der rechten unteren Ecke dieses Blocks wird der Block für p = 2 usw. hinzugefügt, wie 7 zeigt.
Dann folgt man einer gleichartigen Vorgehensweise, um die Diagonalblockmatrix D^L zu finden. Für jeden Bereich p wird wie vorher eine Matrix A gefüllt. Diesmal wird jedoch dieser Bereich als empfangend und nicht als sendend angesehen. Erneut hat A 2M Reihen und M Spalten, wobei M = a(p) – a(p–1). Wiederum gibt es M Richtungen, aber diese werden nunmehr als die Empfangsrichtungen betrachtet.
Um zu verstehen, was in A einzusetzen ist, ist es hilfreich zu beachten, wie das NEC2-Computerprogramm die Wechselwirkungsmatrix Z definiert. Bei Verwendung mit Drahtgittermodellen strahlen die Quellen elektrische und magnetische Felder aus. Was jedoch in NEC2 verwendet wird, ist das elektrische Feld, das ein anderes Segment erreicht. Jedes Matrixelement von Z wird berechnet durch Berechnen der Komponente dieses elektrischen Felds, das in der Richtung der Tangente zu dem Drahtsegment ist.
Für das Zahlenpaar (m,n), wobei m = 1,..., M und n = 1,...,M, werden die Matrixeinträge bzw. -elemente für A bei (m,n) und (m+M,n) wie folgt berechnet. Man berechnet einen Einheitsvektor k ^ in der m-ten Richtung. Man findet die Einheitsvektortangente zu Segment Nummer n und bezeichnet sie mit t ^. Die Position der Mitte der Drahtsegmentnummer n wird gefunden und als der Vektor X bezeichnet. Dann berechnet man den Vektor
wobei die Wellenlänge durch λ gegeben ist (NEC2 verwendet Einheiten mit λ = 1).
Es ist zu beachten, daß die Greensche Funktion für dieses Problem ein Minusvorzeichen im Exponentialausdruck hat, während der vorstehende Ausdruck dies nicht hat. Der Grund hierfür ist, daß die Richtung von k ^ nach außen ist, was entgegengesetzt zu der Ausbreitungsrichtung der Strahlung ist.
Für Probleme auf dem elektromagnetischen Gebiet ist die physikalische Wellenlänge λ größer als Null. Wenn statt dessen ein elektrostatisches Problem gelöst würde, kann die Elektrostatik als die Grenze angesehen werden, wenn die Wellenlänge beliebig groß wird. Der obige komplexe Exponentialausdruck kann dann durch Eins ersetzt werden. Im Fall der Elektrostatik kann außerdem die relevante Feldgröße longitudinal sein (was bedeutet, daß f parallel zu k ^ wäre).
Für diesen Wert von m (und die zugehörige Richtung k ^) definieren sphärische Koordinaten zwei Richtungen, die als Theta- und Phi-Richtung bezeichnet werden. Diese beiden Richtungen sind zu der Richtung von k ^ senkrecht. Man berechnet die Komponenten von f in jeder dieser Richtungen und bezeichnet sie als fTheta und fPhi. Dies sind komplexe Zahlen. Dann plaziert man fTheta in Reihe m und Spalte n von A und plaziert fPhi in Reihe m+M und Spalte n von A.
Die Matrix A ist eine Matrix von komplexen Zahlen. Man nimmt die komplexe Konjugierte von A, (A*), und führt eine Singulärwertzerlegung daran durch, so daß: A* = UDVh
Nun definiert man den linken Diagonalblock für den Bereich p, d_pL als dpL = Vh
Der hochgestellte Index h an V bezeichnet eine hermitesch Konjugierte. Die Definition der Blöcke für die rechte Seite hatte diese hermitesch Konjugierte nicht. Aus diesen Diagonalblöcken setzt man eine N × N Matrix D^L auf die gleiche Weise zusammen, wie vorher D^R zusammengesetzt wurde. Die Motivation für diese Wahlmöglichkeiten ist zum Teil, daß die Matrix DU^h Reihen hat, die dazu tendieren, kleiner zu werden. Außerdem ist zu erwarten, daß die Greensche Funktion, die für die Erschaffung von Z verwendet wurde, Eigenschaften hat, die ähnlich der Fernfeldform sind, die zur Erschaffung von A' verwendet wurde. Die Formel VhAt = DUh zeigt, daß V^hA^t ebenfalls sukzessive Reihen haben, die dazu tendieren, kleiner zu werden. Die oben beschriebenen gewählten Vorgänge deuten darauf hin, daß sukzessive Reihen jedes Blocks der komprimierten Matrix diese Eigenschaft ebenfalls haben.
Es ist zu beachten, daß die Matrix A, ob sie nun für die rechte oder die linke Seite verwendet wird, auch auf andere Weise gefüllt werden kann. Mit einer geeigneten (räumlich konsekutiven) Ordnung der Winkel kann A beispielsweise als eine M × M Matrix erstellt werden, indem Theta-Polarisationswerte (fTheta-Werte) für einen Winkel und Phi-Polarisationswerte (fPhi) für den nächsten verwendet werden. Gewöhnlich ist es vorteilhaft, daß A keine großen Winkellücken für eine Komponente des elektrischen Feldes beläßt, was in großer Entfernung von der Quelle oder dem Empfänger wichtig ist.
Bei der Durchführung der Singulärwertzerlegung für die rechte und die linke Seite werden jedesmal singuläre Werte gefunden. Die 8 und 9 zeigen die singulären Werte, die für Blöcke der Größe 67 × 93 bzw. 483 × 487 gefunden wurden. Diese Berechnungen wurden für ein Drahtgittermodell mit NEC2 durchgeführt. Die singulären Werte wurden dahingehend aufgetragen, um wie viele Größenordnungen sie kleiner als der größte singuläre Wert sind, und dies bezeichnet man als "Genauigkeitsziffern" in den Diagrammen. Die 8 und 9 zeigen die Genauigkeit, die erreicht wird, wenn man auf eine kleinere Zahl von zusammengesetzten Quellen oder zusammengesetzten Prüfern für Bereiche kürzt, die relativ weit voneinander entfernt sind. Für Bereiche, die näher beieinander sind, ist es für die gewünschte Genauigkeit häufig notwendig, daß die Information von mehr zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfern erhalten bleibt.
Nach dem Berechnen von zusammengesetzten Quellen und zusammengesetzten Prüfern geht der Ablauf zu einem Schritt 1006, in dem eine neue Matrix T, welche die zusammengesetzten Quellen und Prüfer, die D^L und D^R zugeordnet sind, verwendet, berechnet wird. Die Matrix T ist gegeben durch die Gleichung T = DLZDR
T kann effizient erzeugt werden durch Anwendung der Numerierung der hier entwickelten Drahtsegmente (anstelle der in NEC2 verwendeten Numerierung). Die Matrix Z wird von NEC2 berechnet und umnumeriert, um die hier beschriebene Numerierung zu verwenden. Es ist zu beachten, daß eine Blockstruktur über Z und T gelegt worden ist. Diese Blockstruktur ergibt sich aus der Wahl von Bereichen. 4 zeigt ein Beispiel einer Blockstruktur. Block {p,q} der Matrix T, der mit T{p,q} zu bezeichnen ist, ist der Teil von T für die Reihen in Bereich Nummer p und die Spalten in Bereich Nummer q. Die oben gegebene Formel für T ist derart, daß T{p,q} nur von Z{p,q} abhängig ist. Somit braucht jeweils nur ein Block von Z gespeichert zu werden.
In Schritt 1006 wird T jeweils einzelblockweise zusammengesetzt. Für jeden Block von T wird zuerst der entsprechende Block von Z von NEC2 erhalten. Die Drahtsegmente innerhalb eines Blocks werden hier konsekutiv numeriert (NEC2 numeriert sie anders). Somit wird zuerst Z umnumeriert unter Anwendung der Umnumerierungsabbildung von Schritt 1004 und dann die Berechnung ausgeführt: T{p,q} = dp LZ{p,q}dp R
Viele der Zahlen in T{p,q} werden relativ klein sein. Eine geeignete Regel auf der Basis einer gewünschten Genauigkeit wird angewandt, um auszuwählen, welche davon durch Null approximiert werden können. Die übrigen Nicht-Null-Zahlen werden gespeichert. Die Speicherung, die zu den mit Null bewerteten Elementen von T{p,q} und von Z{p,q} gehört, kann aufgehoben werden, bevor der nächste Block berechnet wird. Der obere linke Bereich von T{p,q} hat Matrixelemente, die behalten werden. Wenn man dies antizipiert, kann die Berechnungsgeschwindigkeit erhöht werden, indem entweder der rechte Bereich oder der untere Bereich von T{p,q} nicht berechnet wird.
Die Matrix T ist eine dünnbesiedelte Matrix, und sie kann gespeichert werden, indem eine geeignete Datenstruktur für eine dünnbesiedelte Matrix angewandt wird. Für eine Matrix mit N₂ Nicht-Null-Elementen kann ein Array Z₂(i) für i = 1,...,N₂ verwendet werden, wobei Z₂(i) der komplexe Wert des i-ten Matrixelements ist. Es gibt zwei ganzwertige Arrays I₂(i) und J₂(i) für i = 1,...,N₂. I₂(i) gibt die Reihennummer an, wo das i-te Matrixelement in T erscheint, und J₂(i) ist seine Spaltennummer.
Nach Berechnung von T geht der Prozeß zu einem Prozeßblock 1007 weiter, wo die Reihen und Spalten der Matrix T umgeordnet werden, um eine Matrix T´` zu erzeugen. Die Matrix T wird zu einer Matrix T´` umgeordnet, so daß die linke obere Ecke jedes Blocks von T´` in der rechten unteren Ecke der gesamten Matrix landet. Die T´`-Form eignet sich besser für die LU-Faktorisierung. 5 zeigt ein Beispiel einer Matrix T, und 6 zeigt ein Beispiel einer Matrix T´` nach dem Umordnen. Eine Ausführungsform verwendet einen Löser, der seine eigenen Umordnungsalgorithmen hat, wodurch keine Notwendigkeit für eine explizite Umordnung von T zu T´` besteht.
Nach dem Umordnen geht der Prozeß zu einem Schritt 1008 weiter, in dem die Matrix T´` einem Löser für eine dünnbesiedelte Matrix zugeführt wird, beispielsweise dem Computerprogramm "Sparse" von dem Electrical Engineering Department of University of California, Berkeley. Das Programm Sparse kann angewandt werden, um die Matrix T´` in eine dünnbesiedelte LU-Zerlegung zu faktorisieren.
NEC2 löst die Gleichung J = Z1E für verschiedene Vektoren E. In 10 erfolgt die Lösung der obigen Matrixgleichung in Schritten 1009–1016 oder alternativ in Schritten 1017–1023. Die Sequenz der Schritte 1009 bis 1016 wird mit einem Matrixgleichungslöser verwendet, der keine Umordnung vorsieht. Die Sequenz der Schritte 1017 bis 1023 wird mit einem Matrixgleichungslöser verwendet, der eine Umordnung vorsieht.
In Schritt 1009 wird der Vektor E von NEC2 berechnet. Dann werden in Schritt 1010 die Elemente von E umgeordnet (unter Anwendung derselben Umordnung, wie sie in Schritt 1004 angewandt wird), um einen Vektor E' zu erzeugen. Diese Umordnung wird als die Bereichsumordnung bezeichnet. Dann wird in Schritt 1011 E' in Form von zusammengesetzten Prüfern ausgedrückt durch Multiplikation von E' mit D^L unter Erhalt von D^LE'. Dann wird in Schritt 1012 die gleiche Umordnung, die in Schritt 1007 angewandt wurde, auf D^LE' angewandt unter Erhalt von (D^LE')´`. (Diese Permutation wird als die Löser-Permutation bezeichnet.) Dann wird in Schritt 1013 ein Matrixgleichungslöser (wie beispielsweise der als "SPARSE" bekannte Löser) angewandt, um für den Vektor Y´` aus der Gleichung zu lösen: T´`(Y´`) = (DLE')´`
Dann wird in Schritt 1014 der Umkehrwert der Löser-Umordnung auf Y´` angewandt, um Y zu ergeben. In dem anschließenden Schritt 1015 wird J' berechnet aus der Gleichung J' = DRY
In dem anschließenden und letzten Schritt 1016 wird der Umkehrwert der Bereichspermutation auf J' angewandt, um die gewünschte Antwort J zu ergeben.
Alternativ wird die in den Schritten 1017 bis 1023 gezeigte Ausführungsform zweckmäßigerweise verwendet, wenn der Matrixgleichungslöser seine eigenen Umordnungsalgorithmen hat, so daß die Notwendigkeit entfällt, von T zu T´` umzuordnen (wie das in dem obigen Schritt 1007 geschieht). In Schritt 1017 wird ein umordnender Matrixlöser verwendet, um die Matrix T zu lösen. In dem anschließenden Schritt 1018 wird der Vektor E von NEC2 berechnet. Dann werden in Schritt 1019 die Elemente von E umgeordnet unter Anwendung der Bereichspermutation, um einen Vektor E' zu ergeben. In Schritt 1020 wird dann D^LE' berechnet. Der Ablauf geht dann zu Schritt 1021, in dem die Gleichung TY = DLE'für Y gelöst wird. Nach Berechnung von Y geht der Prozeß zu Schritt 1022 weiter, in dem J' berechnet wird aus der Gleichung J' = DRY
Schließlich wird in Schritt 1023 der Umkehrwert der Bereichspermutation auf J' angewandt, um die gewünschte Antwort J zu ergeben.
Viele Matrixelemente werden durch diese Methode klein gemacht. Die 11 und 12 zeigen Vorher- und Nachher-Resultate für ein Problem bei Anwendung eines Drahtgittermodells in NEC2 mit einer Matrix Z einer Größe von 2022 × 2022 und einem Block der Größe 67 × 93. 11 zeigt die Größen der Matrixelemente vor der Änderung der Quellen und Prüfer, was bedeutet, daß sie einen 67 × 93 Block von umnumeriertem Z zeigt. 12 zeigt denselben Block von T. Die Matrix T hat eine regelmäßige Struktur, wobei die großen Elemente sich in der linken oberen Ecke befinden. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft der transformierten Matrix. Für größere Blöcke ist die relative Anzahl von kleinen Matrixelementen sogar noch besser.
Der durch das Flußdiagramm in 2 ausgedrückte Algorithmus kann in Software implementiert und in einen Computerspeicher geladen sein, der an einem Computerprozessor vorgesehen ist, um beispielsweise die Ausbreitung von Energie, Druck, Schwingungen, elektrischen Feldern, Magnetfeldern, starken Kernkräften, schwachen Kernkräften usw. zu berechnen. Gleichermaßen können die durch das Flußdiagramm in 10 ausgedrückten Algorithmen in Software implementiert und in einen Computerspeicher geladen sein, der an einem Computerprozessor vorgesehen ist, um beispielsweise elektromagnetische Strahlung von einer Antenne, elektromagnetische Streuung, Antenneneigenschaften usw. zu berechnen.
Zusätzlich zu elektromagnetischen Feldern können die vorstehend beschriebenen Techniken auch angewandt werden, um Wechselwirkungsdaten für physikalische Störungen zu komprimieren, bei denen es sich um Wärmefluß, ein elektrisches Feld, ein Magnetfeld, ein Vektorpotential, ein Druckfeld, eine Schallwelle, einen Teilchenfluß, eine schwache Kernkraft, eine starke Kernkraft, eine Schwerkraft usw. handelt. Die oben beschriebenen Techniken können auch verwendet werden für Gittereichfeldberechnungen, ökonomische Vorhersagen, Zustandsraum-Rekonstruktion und Bildverarbeitung (z. B. Bilderzeugung für Radar mit synthetischer Apertur, medizinische Bilder oder Sonarbilder). Die Erfindung ist daher nur durch die beigefügten Patentansprüche begrenzt.

Claims

Verfahren zur Datenkomprimierung, umfassend: Aufteilen eines ersten Satzes von Basisfunktionen in Gruppen (201), wobei jede Gruppe einem Bereich entspricht, wobei jede Basisfunktion einer Unbekannten in einem System von Gleichungen entspricht, wobei jede der Basisfunktionen einer Originalquelle entspricht; Auswählen einer ersten Vielzahl von Winkelrichtungen (201), Berechnen einer Störung, die von jeder der Basisfunktionen in einer ersten Gruppe für jede der Winkelrichtungen erzeugt wurde, um eine Matrix von Störungen (201) herzustellen; Aufteilen eines ersten Satzes von Gewichtungsfunktionen in Gruppen (201), wobei jede Gruppe einem Bereich entspricht, wobei jede Gewichtungsfunktion einer Bedingung entspricht, wobei jede der Gewichtungsfunktionen einem Originalprüfer entspricht; Berechnen einer Störung, die von jedem der Prüfer in einer zweiten Vielzahl von Winkelrichtungen erhalten wurde, um eine Matrix von erhaltenen Störungen (201) herzustellen; gekennzeichnet durch: Verwenden der Matrix von Störungen, um einen zweiten Satz von Basisfunktionen (203) zu berechnen, wobei der zweite Satz von Basisfunktionen zusammengesetzten Quellen entspricht, wobei mindestens eine der zusammengesetzten Quellen eine relativ schwache Störung aus einem Teil des Raums um die mindestens eine zusammengesetzte Quelle erzeugt; Verwenden der Matrix von erhaltenen Störungen, um einen zweiten Satz von Gewichtungsfunktionen (204) zu berechnen, wobei der zweite Satz von Gewichtungsfunktionen zusammengesetzten Prüfern entspricht, wobei mindestens einer der zusammengesetzten Prüfer schwach Störungen aus einem Teil des Raums bezüglich des mindestens einen Prüfers erhält; und Umwandeln mindestens eines Teils des Systems von Gleichungen (205, 215, 216), um eine oder mehrere der zusammengesetzten Quellen und einen oder mehrere der zusammengesetzten Prüfer zu verwenden.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Matrix von Störungen eine Momentmethodenmatrix ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Verwendens der Matrix von Störungen, um einen zweiten Satz von Basisfunktionen zu berechnen, umfasst, eine Stelle der Matrix von Störungen zu reduzieren.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Verwendens der Matrix von erhaltenen Störungen, um einen zweiten Satz von Gewichtungsfunktionen zu berechnen, umfasst, eine Stelle der Matrix von erhaltenen Störungen zu reduzieren.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die Störung ein elektromagnetisches Feld und/oder ein Wärmestrom und/oder ein elektrisches Feld und/oder ein Magnetfeld und/oder ein Vektorpotential und/oder ein Druck und/oder eine Schallwelle und/oder ein Partikelstrom und/oder eine schwache Kernkraft und/oder eine starke Kernkraft und/oder eine Schwerkraft ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die erste Vielzahl von Richtungen im Wesentlichen dieselbe ist wie die zweite Vielzahl von Richtungen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Bereich im Schritt des Aufteilens eines ersten Satzes von Basisfunktionen in Gruppen einem Fernfeldbereich entspricht.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Bereich des Aufteilens eines ersten Satzes von Gewichtungsfunktionen in Gruppen einem Fernfeldbereich entspricht.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die zusammengesetzten Quellen elektrische Ströme umfassen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die zusammengesetzten Quellen Magnetströme umfassen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die zusammengesetzten Quellen akustische Quellen umfassen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die zusammengesetzten Quellen elektromagnetische Quellen umfassen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die zusammengesetzten Quellen Wärmequellen umfassen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei jede der zusammengesetzten Quellen einem Bereich entspricht.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Umwandelns des Systems von linearen Gleichungen ein zweites System von Gleichungen erzeugt, das durch eine dünnbesiedelte Diagonalblockmatrix beschrieben wird.
Verfahren nach Anspruch 15, darüber hinaus eine Umordnung (206) der dünnbesiedelten Diagonalblockmatrix umfassend, um verhältnismäßig größere Einträge in der Matrix zu einer gewünschten Ecke der Matrix zu verschieben.
Verfahren nach Anspruch 15, darüber hinaus ein Lösen des zweiten Systems von Gleichungen (207) umfassend.
Verfahren nach Anspruch 15, darüber hinaus den Schritt des Lösens des zweiten Systems von Gleichungen (207) umfassend, um einen ersten Lösungsvektor herzu stellen, wobei sich der erste Lösungsvektor in Form der zusammengesetzten Prüfer ausdrückt.
Verfahren nach Anspruch 15, darüber hinaus den Schritt des Umwandelns des ersten Lösungsvektors in einen zweiten Lösungsvektor (208) umfassend, wobei sich der zweite Lösungsvektor in Form der Gewichtungsfunktionen ausdrückt.