DE69837784T2

DE69837784T2 - Verbessertes fünf-fehler-korrektursystem

Info

Publication number: DE69837784T2
Application number: DE69837784T
Authority: DE
Inventors: Lih-Jyh Shrewsbury WENG; Ba-Zhong Shrewsbury SHEN
Original assignee: Maxtor Corp
Current assignee: Maxtor Corp
Priority date: 1997-12-03
Filing date: 1998-12-03
Publication date: 2008-02-07
Anticipated expiration: 2018-12-04
Also published as: WO1999029044A1; EP0962060A1; US5978956A; EP0962060B1; DE69837784D1

Description

GEBIET DER ERFINDUNG
Diese Erfindung bezieht sich im Allgemeinen auf Datenverarbeitungssysteme und genauer gesagt auf ein System zum Decodieren und Korrigieren von Fehlern in Daten mit einem Fehlerkorrekturcode.
HINTERGRUND DER ERFINDUNG
Auf Magnetmedien, wie beispielsweise Magnetplatten, gespeicherte Daten werden typischerweise in codierter Form gespeichert, sodass Fehler in den gespeicherten Daten möglicherweise korrigiert werden können. Die Fehler können zum Beispiel aufgrund von Zwischensymbolinterferenz, einem Defekt der Platte oder Rauschen auftreten. Wenn die Dichte der auf der Platte gespeicherten Daten zunimmt, sind mehr Fehler wahrscheinlich, und vom System wird verlangt, dass es sehr viele Fehler korrigiert, die sehr viele Burst-Fehler aufweisen. Ein Burst-Fehler wird typischerweise als eine zusammenhängende Anzahl von Symbolen festlegt, bei denen das erste Symbol und das letzte Symbol fehlerhaft sind. Die Geschwindigkeit, mit der das System die Fehler, einschließlich die Burst-Fehler, korrigiert, ist für die Gesamtgeschwindigkeit bedeutsam, mit der das System die Daten verarbeitet.
Vor dem Aufzeichnen werden Datensymbole mit mehrfachen Bits mit einem Fehlerkorrekturcode (ECC) codiert. Wenn die Datensymbole von der Platte wiederhergestellt und demoduliert werden, wird der ECC benutzt, um, wie der Name impliziert, die fehlerhaften Daten zu korrigieren.
Genauer gesagt wird eine Kette von k Datensymbole, bevor sie in eine Platte geschrieben wird, mit einem (n, k) ECC mathematisch codiert, um n – k ECC-Symbole zu bilden. Die ECC-Symbole werden dann an die Datenkette angehängt, um ein n-Symbol-Fehlerkorrektur-Codewort zu bilden, das dann auf die Platte geschrieben oder auf dieser gespeichert wird. Wenn die Daten von der Platte gelesen werden, werden die Codewörter und die ECC-Symbole, die die Datensymbole enthalten, wiederhergestellt und mathematisch decodiert. Während des Decodierens werden Fehler in den Daten erfasst und, falls möglich, durch Bearbeiten der ECC-Symbole korrigiert [für eine ausführliche Beschreibung des Decodierens siehe, Peterson und Weldon, Error Correction Codes, 2nd Ed., MIT Press, 1972].
Um mehrfache Fehler in Ketten von Datensymbolen zu korrigieren, verwendet das System typischerweise einen ECC, der effizient und effektiv die verschiedenen mathematischen Eigenschaften von Symbolsätzen benutzt, die als Galois-Felder bekannt sind. Galois-Felder werden durch "GF(P^M)" dargestellt, wobei "P" eine Primzahl ist, und "M" für die Anzahl von Stellen zur Basis "P" in jedem Element oder Symbol in dem Feld gehalten wird. P weist gewöhnlicherweise den Wert 2 bei digitalen Computer- und Plattenlaufwerkanwendungen auf, und daher ist M die Anzahl von Bits in jedem Symbol. Die mit den Galois-Feldern üblicherweise verwendeten ECCs sind Reed-Solomon-Codes oder BCH-Codes.
Es gibt im Wesentlichen vier Hauptschritte beim Decodieren eines verfälschten Codeworts eines Reed-Solomon-Codes hoher Rate oder eines BCH-Codes. Das System bestimmt zuerst Fehlersyndrome, die auf den Ergebnissen einer Bearbeitung der ECC-Symbole basieren. Als nächstes bestimmt das System mit den Fehlersyndromen ein Fehlerortungs-polynom, das ein Polynom ist, das den gleichen Grad wie die Anzahl von Fehlern aufweist. Das System findet dann die Wurzeln des Fehlerortungs-Polynoms und bestimmt aus jeder Wurzel die Position eines zugeordneten Fehlers in dem Codewort. Schließlich findet das System Fehlerwerte für die Fehlerpositionen.
Die Schritte zum Bestimmen der Syndrome und zum Finden der Fehlerpositionen sind die zeitaufwändigsten bei dem Fehlerkorrekturprozess. Diese Erfindung bezieht sich auf den Schritt zum Finden der Fehlerpositionen.
Während "schnelle" Verfahren zum Finden von vier oder weniger Fehlern bekannt sind, finden vorbekannte Systeme die Fehlerpositionen für Fehlerortungs-Polgnome fünften Grades durch Durchführen einer zeitaufwändigen Chien-Suche. Die Chien-Suche ist eine systematische Trial-and-Error-Vorgehensweise, die beinhaltet, jedes Element des anwendbaren Galois-Feldes als eine Wurzel der Fehlerortungs-Gleichung auszuprobieren. Falls das Galois-Feld relativ groß ist, benötigt die Chien-Suche eine lange Zeit und verlangsamt somit den Fehlerkorrekturvorgang. Eine Alternative zu der Chien-Suche besteht darin, eine Nachschlagetabelle zu verwenden, in der die Koeffizienten des Fehlerortungs-Polynoms eingetragen sind. Um fünf Fehler zu korrigieren, ist die zugeordnete Nachschlagetabelle untragbar groß, da sie alle möglichen verschiedenen Wurzeln für die Fehlerlokalisierer-Polgnome fünften Grades aufweisen muss. In GF(2^M) weist die Nachschlagetabelle (2^M)⁵ Einträge auf. Für Systeme, die 8-Bit-Symbole verwenden, weist die Nachschlagetabelle (2⁸)⁵ oder 2⁴⁰ Einträge auf, wobei jeder Eintrag fünf 8-Bit-Wurzeln des Fehlerortungs-Polynoms aufweist. Für viele Systeme beansprucht die Nachschlagetabelle zu viel Speicherplatz. Dies gilt insbesondere, wenn größere Galois-Felder verwendet werden, um mehr Daten zu schützen.
„Hybrid Methods for Finding Roots of a Polynomial with Application to BCH Coding", R. T. Chien, IEEE Transactions an Information Theory, März 1969, offenbart Hybridverfahren zum Finden von Wurzeln in einem endlichen Feld F von Polynomen über F, wobei die Verfahren eine Tabelle der Ordnung von 2^m/2m Einträge für GF(2^m) beinhalten.
WO 97/24812 offenbart ein Verfahren zum Lokalisieren von vier Fehlern in einem Codewort eines Reed-Solomon- oder BCH-Codes. Ein Fehlerlokalisierer-Polynom vierten Grades wird in eine Form bearbeitet, bei der der Koeffizient des kubischen Gliedes Null ist, von dem zwei quadratische Polgnome erzeugt werden. Die Wurzeln der beiden quadratischen Polgnome werden dann den Fehlerpositionen zugeordnet.
ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNG
Ein Fehlerkorrektursystem transformiert ein Fehlerortungs-Polynom fünften Grades s(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 (1)in w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 (2)wobei b₁ = 0 oder 1 und y = t(x) ist, und bestimmt die Wurzeln von Gleichung 1 basierend auf Gleichung 2. Gleichung 2 weist (2^M)² anstatt (2^M)⁵ Lösungen über GF(2^M) auf, da es für jede Lösung mit b₂ = h₂, b₀ = h₀ und b₁ = 1 keine derartige Lösung mit b₂ = h₂, b₀ = h₀ und b₁ = 0 gibt. Umgekehrt gibt es, falls es eine derartige Lösung mit b₁ = 0 gibt, keine derartige Lösungen mit b₁ = 1. Das System kann daher eine Tabelle verwenden, die 2^2M Einträge aufweist, die durch {b₂, b₀} adressiert wird. Die Tabelle erzeugt Wurzeln y = r_i, i = 0, 1...4, und das System transformiert dann die Wurzeln y = r_i in die Wurzeln von Gleichung 1 durch x = t^–1(y), wobei t^–l( ) das Inverse von t( ) ist. Die Größe der Nachschlagetabelle wurde somit von 2^5M Einträge auf 2^2M Einträge verringert. Um die gesamten Tabellenspeicherbedürfnisse weiter zu verringern, kann die Tabelle in jedem Eintrag vier Wurzeln r_i, i = 0, 1...3 aufweisen, und das System berechnet dann die zugeordnete fünfte Wurzel r₄ durch Addieren der gespeicherten Wurzeln.
Die Größe der Nachschlagetabelle kann sogar weiter verringert werden, indem (i) das Galois-Feld (2^M) in konjugierte Klassen segmentier wird; (ii) bestimmt wird, welche der Klassen Werte von b₀ enthalten, die Lösungen von Gleichung 2 mit fünf verschiedenen Wurzeln entsprechen; (iii) jede dieser Klassen jeweils durch einen einzigen Wert von b₂' =
dargestellt wird; und (iv) in der Tabelle für jede Klasse nur jene Lösungen aufgenommen werden, die den repräsentativen Werten von b₀' entsprechen. Wie nachstehend ausführlicher erläutert wird, enthält die Tabelle eine relativ kleine Anzahl von Wurzelsätzen für jede der Klassen, wobei jedem Satz ein bestimmter Wert von b₂'=
zugeordnet ist. Die Wurzeln von Gleichung 2 werden durch Finden des Werts von k bestimmt, der b₀' und b₂' erzeugt, Eingehen in die Nachschlagetabelle mit {b₀', b₂'}, Erheben der durch die Tabelle erzeugten Wurzeln r_i' in die Potenz –2^k, um y = r_i zu erzeugen, und dann Transformieren des Ergebnisses in die Wurzeln von Gleichung 1 durch x = t^–1(y).
Wie nachstehend erläutert wird, kann die Gesamtgröße der Tabelle wiederum durch Verwenden einer Anzahl von aneinander gereihten kleineren Tabellen verringert werden, wobei eine Reihe auf b₁' = 1 oder 0 und eine zweite Reihe auf den möglichen Werten von b₂' basiert. Die Speicheranforderungen der Tabelle können dann weiter verringert werden, in dem in jedem Tabelleneintrag vier oder weniger Wurzeln gespeichert werden.
KURZE BESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
Die nachstehende Beschreibung der Erfindung bezieht sich auf die begleitenden Zeichnungen, in denen zeigen:
1 ein Funktionsblockdiagramm eines in Übereinstimmung mit der Erfindung aufgebauten Systems;
2 ein Funktionsblockdiagramm eines in Übereinstimmung mit der Erfindung aufgebauten alternativen Systems;
3 ein Diagramm, das eine zweireihige Nachschlagetabelle veranschaulicht, die bei dem System von 2 verwendet werden kann; und
4 ein Ablaufdiagramm des Betriebs des Systems von 2 und 3.
AUSFÜHRLICHE BESCHREIBUNG EINER VERANSCHAULICHENDEN AUSFÜHRUNGSFORM
A. Das System
In 1 umfasst ein Fehlerkorrektursystem 10 einen Fehlerortungs-Polynom-Prozessor 12, der auf eine herkömmliche Art und Weise arbeitet und ein Codewort bearbeitet, das über GF(2^M) codiert ist, um ein Fehlerortungs-Polynom s(x) zu erzeugen. Falls der Grad „e" des Fehlerlokalisierer-Polynoms geringer als 5 ist, verwendet das System einen Prozessor 15, um die Wurzeln der Gleichung mit bekannten „schnellen" Techniken zu finden. Falls das Fehlerortungs-Polynom von Grad 5 ist, dass heißt s(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 (1) liefert der Fehlerortungs-Polynom-Prozessor 12 das Polynom an einen Polynomtransformier-Prozessor 14, der das Fehlerortungs-Polynom in w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 (2)transformiert, wobei b₁ entweder gleich 0 oder 1 und y = t(x) ist. Die Bearbeitungsvorgänge des Transformier-Prozessors werden nachstehend in Abschnitt B erläutert.
Bei der in 1 gezeigten Ausführungsform des Systems 10 wird auf eine Nachschlagtabelle mit 2^2M-Einträgen zugegriffen, die als die Adresse eine Verkettung von b₂ und b₀ verwendet. Die Nachschlagtabelle erzeugt Wurzelsätze y = r_i mit i = 0, 1...4. Die Wurzeln werden an einen Wurzeltransformier-Prozessor 18 geliefert, der die Wurzeln y = r_i in x = z_i transformiert, wobei x = t^–1(y) und t¹( ) das Inverse von t( ) ist. Mit den fünf Wurzeln x = z_i bestimmt ein Fehlerkorrektur-Prozessor 20 fünf zugeordnete Werte und korrigiert Fehler in den Datensymbolen des Codeworts.
Vorzugsweise enthält Tabelle 16 in jedem Eintrag vier Wurzeln y = r_i mit i = 0, 1...3. Die fünfte Wurzel wird dann durch einen Addierer 17 bestimmt, der die vier gespeicherten Wurzeln addiert. Für jedes Polynom fünften Grades ist die Summe der Wurzeln gleich dem Koeffizienten des Gliedes y⁴. Somit ist r₀ + r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = b₄ und b₄ = 0. Demgemäß ist r₄ gleich der Summe von r₀ + r₁ + r₂ + r₃.
Bei dieser ersten Ausführungsform wird die Größe der Nachschlagtabelle von herkömmlichen 2^5M Einträgen auf 2^2M Einträge verringert. Für Systeme, die 8-Bit-Symbole verwenden, d.h. bei denen M = 8 ist, wird die Größe der Tabelle von 2⁴⁰ Einträgen auf 2¹⁶ Einträge verringert. Die Speicheranforderungen je Eintrag werden ebenfalls verringert, indem lediglich vier M-Bit-Wurzeln je Eintrag gespeichert werden.
2 stellt eine zweite Ausführungsform des Fehlerkorrektursystems 10 dar, das eine Nachschlagtabelle 22 aufweist, die in der Größe auf eine Anzahl von Einträgen verringert wird, die ein kleiner Prozentsatz von 2^M ist, und somit bedeutend kleiner als die herkömmliche Tabelle ist, die 2^5M Einträge aufweist, oder sogar als die Tabelle verringerter Größe 16 (1), die 2^2M Einträge aufweist.
Auf die Nachschlagtabelle wird mit Werten b₂' und b₀' zugegriffen, die den Koeffizienten b₂ und b₀ von Gleichung 2 und den konjugierten Klassen von GF(2^M) zugeordnet sind, wie nachstehend erläutert wird.

Ein Galois-Feld GF(2^M) kann in eine Anzahl von konjugierten Klassen getrennt werden, jede mit Elementen

wobei α das primitive Element des Galois-Felds ist. Als ein Beispiel sind die als Potenzen von α ausgedrückten dreizehn konjugierten Klassen von GF(2⁶):

α⁰
α¹	α²	α⁴	α⁸	α¹⁶	α³²
α³	α⁶	α¹²	α²⁴	α⁴⁸	α³³
α⁵	α¹⁰	α²⁰	α⁴⁰	α¹⁷	α³⁴
α⁷	α¹⁴	α²⁸	α⁵⁶	α⁴⁹	α³⁵
α⁹	α¹⁸	α³⁶
α¹¹	α²²	α⁴⁴	α²⁵	α⁵⁰	α³⁷
α¹³	α²⁶	α⁵²	α⁴¹	α¹⁹	α³⁸
α¹⁵	α³⁰	α⁶⁰	α⁵⁷	α⁵¹	α³⁹
α²¹	α⁴²
α²³	α⁴⁶	α²⁹	α⁵⁸	α⁵³	α⁴³
α²⁷	α⁵⁴	α⁴⁵
α³¹	α⁶²	α⁶¹	α⁵⁹	α⁵⁵	α⁴⁷

Eine gegebene konjugierte Klasse kann durch eines ihrer Elemente a^l dargestellt werden, da jedes Element der Klasse gleich
für k gleich 1, ..., M – 1 ist und durch das wiederholte Quadrieren von a^l erzeugt werden kann.
Wir sind lediglich an Lösungen von Gleichung 2 interessiert, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen, da diese Lösungen auf korrigierbare Fehler zeigen. Die Werte des Koeffizienten b₀, die Gleichungen der Form von Gleichung 2 zugeordnet sind, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen, fallen in eine Untermenge der Gesamtzahl von konjugierten Klassen. Bei dem Beispiel umfasst die Untermenge „C" konjugierte Klassen, wobei C È 13 ist. Die Menge von Werten von b₀, die von Interesse sind, kann somit vollständig durch die C konjugierten Klassen dargestellt werden, und jede Klasse kann ihrerseits durch ein einzelnes Element a^l dargestellt werden, das wir hier als b₀' bezeichnen. Das b₀' in diesem Beispiel ist das Element der Klasse, die den kleinsten Exponenten aufweist. Das b₀' kann stattdessen das Element mit dem kleinsten oder größten Gewicht (Anzahl von Einsen), das Element mit dem kleinsten „Wert", der durch die Platzierung der Einsen in den verschiedenen Symbolen bestimmt wird, oder das Element mit dem größten Exponenten sein. Für jeden der C Werte von b₀' gibt es eine begrenzte Anzahl von Werten von b₂', die den Gleichungen mit fünf verschiedenen Wurzeln entsprechen. Demgemäß muss die Tabelle lediglich die Wurzeln enthalten, die den Gleichungen entsprechen, die diese bestimmten Werte der Koeffizienten b₀' und b₂' aufweisen. Es sei eine Gleichung in der Form h(x) = xn + qn–1xn–1 + ... + q1x1 + q0 = 0 (3) mit s Wurzeln r_i betrachtet. Einsetzen der Wurzeln in Gleichung 3 h(ri) = ri n + qn–1ri n–1 + ... +q1ri + q0 = 0und Erheben beider Seiten in die Potenz 2^k ergibt:
Die Wurzeln der Gleichung 3 sind r_i' =
für k = 0, ..., M – 1. Somit weist eine Gleichung der Form von Gleichung 2 w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 (2) erhoben in die Potenz 2^k
Wurzeln
= r₁' auf, wobei r_i die Wurzeln von Gleichung 2 sind.
Die Werte b₂' und b₀' von Gleichung 5 werden verwendet, um auf die Nachschlagtabelle 22 zuzugreifen und die Wurzeln r_i von Gleichung 5 zu extrahieren. Das System erhebt im Wurzeltransformier-Prozessor 24 die Wurzeln r_i in die Potenz –2^k, um die Wurzeln y = r_i von Gleichung 2 zu erzeugen. Der Wurzeltransformier-Prozessor erzeugt dann die Wurzeln von Gleichung 1 als x = t^–1(y). Wie nachstehend bei einem Beispiel erläutert wird, ist die Anzahl von Einträgen in der Nachschlagtabelle 22 ein kleiner Prozentsatz von 2^M, was bedeutend kleiner als die 2^5M Einträge einer herkömmlichen Nachschlagtabelle ist.
Fortfahrend mit dem Beispiel in GF(2⁶) weist eine Gleichung der Form von Gleichung 2 w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 = 0fünf verschiedene Wurzeln in GF(2⁶) nur dann auf, wenn b₀ zu einer der fünf konjugierten Klassen gehört:

α⁰

α¹ α² α⁴ α⁸ α¹⁶ α³²

α⁵ α¹⁰ α²⁰ α⁴⁰ α¹⁷ α³⁴

α¹³ α²⁶ α⁵² α⁴¹ α¹⁹ α³⁸

α²⁷ α⁵⁴ α⁴⁵
Diese fünf konjugierten Klassen können beispielsweise durchn ein Satz oder Menge vollständig dargestellt werden, der/die für jede Klasse das Element b₀' mit dem kleinsten Exponenten enthält. Die Klassen werden somit durch die Menge S = {α0, α1, α5, α13, α27}dargestellt. Für jeden Wert von b₀' in dieser Menge gibt es einen kleine Menge von möglichen Werten für b₂', für die die Gleichung w'(y) in der Form von Gleichung 5 fünf verschiedene Lösungen aufweist. Tatsächlich gibt es eindeutige Werte von b₂', die jeweils b₀' = α⁰, α¹, α⁵ oder α¹³ zugeordnet sind, und zwei mögliche Werte für b₂', die b₂' = α²⁷ zugeordnet sind. Bei diesem besonderen Beispiel gibt es keine Lösungen mit fünf verschiedenen Wurzeln, die b₁' = 0 zugeordnet sind. Demgemäß entsprechen alle Tabelleneinträge b₁' = 1.

Alle Lösungen mit Koeffizienten b₀' und b₂', die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen, sind in der folgenden Tabelle mit sechs Einträgen enthalten:

b₀'	b₂'	r_i'
α⁰	0	α⁹,	α¹⁹,	α²¹,	α³⁶
α¹	α²³	α²²,	α²⁷,	α⁴³,	α⁴⁷
α⁵	α²⁰	α¹⁶,	α²¹,	α⁴⁰,	α⁴⁹
α¹³	α⁴⁶	α³²,	α³²,	α⁴¹,	α³⁹
α²⁷	α⁰	α⁹,	α¹⁴,	α²³,	α⁴⁹
α²⁷	α⁴⁵	α⁶,	α¹⁸,	α³⁷,	α⁴⁴

TABELLE 1

Die Tabelle listet vier Wurzeln für jede Adresse {b₀' b₂} auf, und die fünfte Wurzel ist die Summe r₀ + r₁ + r₂ + r₃ = r₄. Tabelle 1 ist wesentlich kleiner als die Tabelle, die bei herkömmlichen Systemen verwendet wird, die (2⁶)⁵ oder 2³⁰ Einträge aufweist.
Um die Tabelle 1 zu verwenden, müssen die Werte von b₀' =
und b₂' =
bestimmt werden, und somit muss der Wert von k bestimmt werden. Der Prozessor 14 quadriert den Koeffizienten b₀ von Gleichung 2 und inkrementiert k einmal für jede Quadrieroperation. Die Quadrieroperationen werden fortgesetzt, bis entweder das Ergebnis ein Element der Menge S ist oder k den Wert M–1 überschreitet. Alternativ kann der Koeffizient b₀ verwendet werden, um auf eine Tabelle (nicht gezeigt) zuzugreifen, die den Wert entweder in einen Wert von k oder in einen „Keine-Lösung"-Eintrag abbildet, was angibt, dass es keine Lösungen gibt, die fünf verschiedene Lösungen aufweisen, die dem bestimmten Wert von b₀ zugeordnet sind. Bei dem Beispiel bildet diese Tabelle b₀ = 0 in den Keine-Lösung-Eintrag ab.
Unter der Annahme, dass
= b₀' in der Menge S ist, berechnet das System b₂' =
und verwendet die Werte b₀' und b₂', um auf die Nachschlagtabelle 22 zuzugreifen, die die Tabelle 1 enthält, und daraus die gespeicherten Wurzeln r_i' zu extrahieren. Nach Bedarf addiert ein Addierer 23 die gespeicherten Wurzeln, um eine zugeordnete fünfte Wurzel r₄' zu erzeugen. Das System erhebt dann in dem Wurzeltransformier-Prozessor 24 die Wurzeln r_i' in die Potenz –2^k, um die Wurzeln r_i' von Gleichung 2 zu bestimmen, wobei y = r_i =
ist. Der Wurzel-Prozessor konvertiert als nächstes die Wurzeln y = r_i in die Wurzeln von Gleichung 1, x = z_i'.
Die Anzahl von Wurzeln, die in jedem Tabelleneintrag enthalten sind, kann auf drei verringert werden, falls das System eine quadratische Gleichung löst, die die beiden unbekannten Wurzeln von Gleichung 5 aufweist. Wenn die fünf Faktoren (y – r_i') von Gleichung 5 ausmultipliziert und die Koeffizienten des kubierten Glieds gleich Null gesetzt werden, erzeugt das System: r4'·(r0' + r1' + r2' + r3') + r3'·(r0' + r1' + r2') + r2'·(r1' + r0') + r1'·r0' = 0 (6)wobei „*" Multiplikation darstellt. Mit den Werten von r₀', r₁' und r₂', die von der Tabelle extrahiert werden, kann Gleichung 6 umgeschrieben werden r4'·(A + r3') + r3'·A + B = 0 (7) wobei A und B bekannte Größen und A = r₀' + r₁' + r₂' und B = r₂'·(r₁' + r₀') + r₁'·r₀' ist. Gleichung 7 kann dann umgeschrieben werden als: r4'·r3' + A·(r4' + r3') + B = 0 (8)Mit r4'·r3'·r2'·r1'·r0' = b0'und c = r₀'·r₁'·r₂', können wir in Gleichung 8
oder
einsetzen, um
zu erzeugen, was gleich
ist, und somit kann r₃' aus
bestimmt werden, wobei z die einzige Unbekannte ist und r₄' dann aus r₃' bestimmt werden kann. Das System löst dann die quadratische Gleichung mit bekannten Techniken. Eine andere Art und Weise, die quadratische Gleichung zu erzeugen, besteht darin, Gleichung 5 durch die Faktoren (y + r_i) für i = 0, 1, 2 zu dividieren.
Die Anzahl von in jedem Tabelleneintrag gespeicherter Wurzeln kann ferner auf eins oder zwei verringert werden, wobei das System die zugeordneten Polgnome dritten und vierten Grades mit bekannten „schnellen" Techniken löst.
In 3 kann die Nachschlagtabelle 22 in zwei Schichten oder Reihen 29 und 25 angeordnet sein. Die erste Reihe 29 umfasst zwei „Master"-Tabellen 26a und 26b, die jeweils b₁' = 0 und b₁' = 1 zugeordnet sind. Mit b₁' von Gleichung 5 wählt das System eine Master-Tabelle aus. Es greift dann auf die Master-Tabelle mit b₀' zu. Die Master-Tabelle erzeugt einen Zeiger auf die zweite Reihe 25 von Tabellen 28, auf die mit dem Koeffizienten b₂' zugegriffen wird. Bei dem Beispiel gibt es eine Master-Tabelle mit einem Eintrag 26b für b₁' = 1, die angibt, dass es keine zugeordneten Lösungen gibt, die fünf verschiedenen Wurzeln aufweisen, und eine Master-Tabelle mit sechs Einträgen 26a für b₁' = 0, die Zeiger auf fünf Tabellen der zweiten Reihe 28, eine Tabelle für jeden der Werte von b₁', die einer Lösung mit fünf verschiedenen Wurzeln entsprechen, aufweist. Die Master-Tabelle 26a umfasst ebenfalls eine Keine-Lösung-Eintrag, der allen anderen Werten von b₀' entspricht. Drei dieser Tabellen der zweiten Reihe 28 umfassen jeweils zwei Einträge, nämlich einen für den zugeordneten Wert von b₂', für die es fünf verschiedene Wurzeln gibt, und einen, der einem „Keine-Lösung"-Wert zugeordnet ist. Die vierte Tabelle, die b₀' = α²⁷ zugeordnet ist, umfasst drei Einträge, zwei, die den beiden möglichen Werten von b₂' zugeordnet sind, für die es fünf verschiedene Wurzeln gibt, und einen, der dem Keine-Lösung-Wert zugeordnet ist.
In 4 findet das System die Wurzeln eines Polynoms fünften Grades mit den beiden Reihen von Tabellen, indem zuerst das Fehlerlokalisier-Polynom fünften Grades bearbeitet wird, um ein Polynom der Form von Gleichung 2 zu erzeugen (Schritt 400). Falls b₀ = 0 ist, bestimmt das System, dass y = 0 eine Wurzel ist, und bestimmt die verbleibenden Wurzeln mit einem Verfahren zum Lösen von Polynomen vierten Grades (Schritt 404). Falls der Koeffizient b₀ ungleich Null ist, bestimmt das System einen Wert von k, sodass
= b₀' ist, wobei b₀' ein Element der Menge S ist (Schritte 402, 406). Um dies zu tun, greift das System entweder auf eine Nachschlagtabelle (nicht gezeigt) mit b₀ zu, um einen zugeordneten Wert von k zu erzeugen, oder es berechnet den Wert von k durch Erheben des Koeffizienten b₀ von Gleichung 2 in die Potenz 2^k, wobei k = 0, 1...M–1 ist, und Bestimmen, ob das Ergebnis ein Element der Menge S ist. Das System quadriert somit wiederholt den Koeffizienten b₀', bis das Ergebnis gleich einem der Elemente von S ist oder alle möglichen Werte von k versucht wurden. Falls
kein Element von S ist, bestimmt das System, dass es keine Lösungen mit fünf verschiedenen Wurzeln gibt (Schritt 407).
Wenn ein Wert für k bestimmt werden kann, verwendet das System den Koeffizienten
= b₁', um eine der Master-Tabellen 26a oder 26b auszuwählen (Schritte 408–410). Das System geht dann in die ausgewählte Tabelle mit
und die Tabelle erzeugt einen Zeiger, der das System zu einer der Tabellen zweiter Reihe 28 lenkt (Schritt 412).
Mit dem Koeffizienten b₂' greift das System auf die ausgewählte Tabelle zweiter Reihe zu, die eine vorbestimmte Anzahl von Wurzeln r_i erzeugt (Schritt 414). Das System verwendet dann nach Bedarf die gespeicherten Wurzeln, um die verbleibenden Wurzeln zu erzeugen (Schritt 416). Wenn vier Wurzeln gespeichert sind, addiert sie das System, um die fünfte Wurzel r₄' zu bestimmen. Wenn weniger als vier Wurzeln gespeichert werden, verwendet das System die gespeicherten Wurzeln, um eine Polynom von Grad 5 – j zu erzeugen, wobei j die Anzahl gespeicherter Wurzeln ist, und bestimmt dann die verbleibenden Wurzeln, indem dieses Polynom verringerten Grades mit bekannten Techniken gelöst wird. Beispielsweise kann das System drei Wurzeln r₀', r₁' und r₂' in der Tabelle speichern und eine quadratische Gleichung erzeugen, die es mit bekannten Techniken löst, um r₃' und r₄' zu erzeugen.
Das System berechnet als nächstes die Wurzeln r_i aus den Wurzeln r_i' durch Erheben der Wurzeln in die Potenz –2^k (Schritt 418). Es bestimmt dann die Wurzeln x = z_i durch Berechnen von t^–1(r_i) für i = 0, 1 ...4 (Schritt 420).

Statt zwei Reihen von Tabellen zu verwenden, kann die Tabelle 1 neu angeordnet werden, sodass sie durch eine Hash der Koeffizienten b₂' and b₀' adressiert wird. Die Tabelle wird somit

b₂', b₀'	Wurzeln
0, α⁰	α⁹, α¹⁹, α²¹, α³⁶
α²³, α¹	α²², α²⁷, α⁴³, α⁴⁷
α²⁰, α⁵	α¹⁶, α²¹, α⁴⁰, α⁵⁷
α⁴⁶, α¹³	α²⁴, α³², α⁴¹, α⁴⁹
α⁰, α²⁷	α⁹, α¹⁴, α²³, α⁴⁹
α⁴⁵, α²⁷	α⁶, α¹⁸, α³⁷, α⁴⁴
jeder andere b₂', b₀'	keine Lösung

TABELLE 2

Die Koeffizienten b₂' und b₀' werden als M-Bit-Symbole ausgedrückt, die Potenzen des primitiven Elements α modulo des irreduziblen Polynoms ist, das das Feld GF(2^M) erzeugt.

Eine Hash-Adresse wird von ausgewählten Bits jedes der in Tabelle 2 aufgelisteten Koeffizientenpaare formuliert. Falls die Paare b₂', b₀' als 2^M Spalten von Bits behandelt werden, verwendet das System vorzugsweise für die Hash-Adresse die Spalten, die eine Anzahl von Einsen enthalten, die gleich eine Hälfte der Größe der Tabelle ist. Bei dem Beispiel werden die Spalten 11, 10 und 1 ausgewählt, und die Hash-Adressen für die Paare b₂', b₀' sind:

b₂', b₀'	M-Bit-Symbole	Hash-Adresse
0, α⁰	000000, 000001	000
α²³, α¹	101001, 000010	101
α²⁰, α⁵	111100, 100000	110
α⁴⁶, α¹³	110010, 001010	111
α⁰, α²⁷	000001, 001110	001
α⁴⁵, α²⁷	011001, 001110	011

Die Hash-Adressen 010 und 100 sind dem Eintrag "keine Lösung" zugeordnet.
Falls eine Hash-Adresse verwendet wird, muss das System prüfen, dass die aus der Tabelle extrahierte Menge von Wurzeln eine Lösung für Gleichung 5 ist. Das System substituiert somit die Wurzeln in die Gleichung.
B. Verarbeitungen des Polynomtransformier-Prozessor
Wir erläutern nachstehend die Verarbeitungen des Polynomtransformier-Prozessors 14 (1), die auf einer Erläuterung in Berlekamps Buch Algebraic Coding Theory, McGraw-Rill Book Company, 1968, basieren. Der Polynomtransformier-Prozessor 14 bestimmt, wie das Fehlerortungs-Polynom zu verarbeiten ist: s(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 +a1x + a0 (1) um w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 (2)basierend teilweise auf den Werten der Koeffizienten a₃ und a₄ zu erzeugen.
Falls a₃ und a₄ beide Null sind, ist das Fehlerortungs-Polynom in der Form von Gleichung 2, mit x = y. Falls a₄ ¿ 0 und a₃ = 0, bestimmt das System, ob a₁ = a₄ ⁴ ist, und falls so, setzt y = a₄ + x. Wenn x = y + a₄ in das Polynom substituiert wird, dann sind die Koeffizienten von Gleichung 2 b0 = a2 b1 = 0 b0 = a0 + a4 5 + a2·a4 2
Falls a₁ ¿ a₄ und a₃ = 0, setzt das System
und die Koeffizienten von Gleichung 2 sind
b1 = 0 oder 1
wobei E = (a1 + a4 4)1/4.
Falls a₃ ¿ 0, lassen wir
und Gleichung 1 wird
Falls G = 0, impliziert es, dass
ein Faktor von Gleichung 2 ist, und somit, dass die verbleibenden Wurzeln durch Lösen eines Polynoms vierten Grades bestimmt werden können.
Falls G ¿ 0, lassen wir s = 1 / n und dividieren die Koeffizienten von Gleichung 1^* durch G, um
zu erzeugen, wobei
ist.
Der Koeffizient von s³ in dieser Gleichung ist Null, und die Gleichung kann, wie oben erläutert, basierend auf den Werten der Koeffizienten von s⁴ und s verarbeitet werden, um einen Ausdruck in der Form von Gleichung 2 zu erzeugen. Das System bestimmt als nächstes die Wurzeln s = r_j von Gleichung 1^** und transformiert sie zuerst in die Wurzeln von Gleichung 1^* und dann in die Wurzeln x = z_i von Gleichung 1.
C. Finden von Wurzeln von Fehlerortungs-Polynomen des Grades e < 5
Das oben erläuterte Verfahren zum Finden der Wurzeln eines Fehlerortungs-Polynoms fünften Grades kann ebenfalls verwendet werden, um die Wurzeln von Polynomen vom Grad e < 5 zu finden. Wie nachstehend erläutert ist, umfassen die Tabellen, die verwendet werden, um diese Wurzeln zu finden, in den Einträgen 5 – e mehrfache Wurzeln, die nicht verwendeten Fehlerpositionen entsprechen.
Das Polynom des Grades e kann mit x^5–e multipliziert werden, um ein Polynom fünften Grades zu erzeugen. Die Koeffizienten von einem oder mehreren von a₀, a₁, a₂ und a₃ sind dann gleich Null, was mehrfache Wurzeln bei x = 0 impliziert. Demgemäß müssen die Nachschlagetabellen expandiert werden, um Wurzeln zu enthalten, die den Gleichungen mit diesen nullwertigen Koeffizienten entsprechen.
Das System verarbeitet dieses Polynom fünften Grades, wie oben erläutert ist, und die zugeordneten Koeffizienten b₀' und b₂' werden verwendet, um in die expandierte Tabelle einzugehen. Das System ignoriert die 5 – e mehrfachen Wurzeln bei x = 0, und verwendet die verbleibenden e Wurzeln, um die Fehlerpositionen zu bestimmen, wie es oben erläutert ist. Im Allgemeinen wird die Position x = 0 nicht als eine Fehlerposition verwendet, es sei denn, dass das System einen erweiterten Code verwendet. Demgemäß geht keine Fehlerpositionsinformation durch Ignorieren der mehrfachen Fehlerpositionen bei x = 0 verloren.
In der Tat verwenden die Systeme im Allgemeinen verkürzte Codes, und es gibt somit mehrfache nicht verwendete Fehlerpositionen. Falls ein Code von Länge N verwendet wird, wobei N < M – 1 und 2^M – 1 – N° 4, gibt es nicht verwendete Positionen, die a^–N, a^–(N+1)...
entsprechen. Demgemäß sollten diese Fehlerpositionen nicht in irgendeiner Lösung des Fehlerortungs-Polynoms aufgenommen werden.
Mit einem alternativen Verfahren zum Finden der Wurzeln von Fehlerortungs-Polynomen des Grades e macht das System 10 Gebrauch von diesen ansonsten nicht verwendeten Fehlerpositionen. Das System verarbeitet das Fehlerortungs-Polynom s(x), um g(x) = s(x)·(x + α–n)·(x + α–(n+1))...·(x + α–(n+5–e–1)),zu bilden, das fünf verschiedene Wurzeln über den unverkürzten Code aufweist. Das System verarbeitet dann g(x), wie oben erläutert, bestimmt die zugeordneten Koeffizienten b₀' und b₂' und greift auf die passende Tabelle zu. Das System ignoriert die 5 – e Wurzeln, die Fehlerpositionen entsprechen, die jenseits der Länge des verkürzten Codes sind, dass heißt die Wurzeln, die den nicht verwendeten Fehlerpositionen entsprechen, und verwendet die verbleibenden Wurzeln, um die Fehlerpositionen zu bestimmen.
Die Verarbeitung mit den Systemen zum Bestimmen der Wurzeln des Fehlerortungs-Polynoms mit den erheblich kleineren Nachschlagetabellen beinhalten eine Verarbeitung des Fehlerortungs-Polynoms und eine Transformation der Wurzeln des verarbeiteten Polynoms in die Wurzeln des Fehlerortungs-Polynoms. Diese Verarbeitungen sind unkompliziert und werden ohne Weiteres in Hardware, Software oder einer Kombination von Hardware und Software implementiert. Ferner werden diese Verarbeitungen relativ schnell durchgeführt und verlangsamen somit nicht den Gesamtfehlerkorrekturvorgang.
Das System wurde so beschrieben, dass es mehrere Prozessoren aufweist. Einer oder mehrere dieser Prozessoren können kombiniert werden, um eine oder mehrere der verschiedenen Verarbeitungen durchzuführen. Alternativ können die oben erläuterten Prozessoren Kombinationen von einem oder mehreren Prozessoren sein, die die verschiedenen Verarbeitungen zusammen durchführen.

Claims

Verfahren zum Bestimmen von Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codierten Daten-Codewort, das fünf Fehler aufweist, wobei das Verfahren umfasst: A. Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ(x), das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; B. Verarbeiten des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ(x), um ein Polynom zu erzeugen: w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0,wobei b₁ = 0 oder 1 und y = t(x) ist; C. Verwenden der Koeffizienten b₂ und b₀, um auf eine Nachschlagtabelle mit 2^2M Einträgen (16) zuzugreifen und aus der Tabelle die Wurzeln y = r_i von w(y) zu entnehmen; und D. Verarbeiten der Wurzeln y = r_i, um die Wurzeln x = z_i durch Bestimmen von x = t^–1(y) zu erzeugen, wobei t^–1() die Inverse von t() ist.
Verfahren gemäß Anspruch 1, ferner mit, bei dem Schritt des Entnehmens der Wurzeln aus der Tabelle: a. Entnehmen von vier Wurzeln r₀, r₁, r₂, r₃ aus der Tabelle; und b. Addieren der vier Wurzeln, um eine fünfte Wurzel r₄ = r₀ + r₁ + r₂ + r₃ zu erzeugen.
Verfahren gemäß Anspruch 1, ferner mit, bei dem Schritt des Entnehmens der Wurzeln aus der Tabelle: a. Entnehmen aus der Tabelle von j Wurzeln r_i, i = 0, 1..., j – 1 und j < 5; b. Verarbeiten der Wurzeln r_i, um die Wurzeln r_j, r_j+1, r₄ zu bestimmen.
Verfahren gemäß Anspruch 3, ferner mit, bei dem Schritt des Verarbeitens der Wurzeln r_i: i. Verarbeiten der Wurzeln r_i, um ein Polynom fünften Grades (5 – j) zu bestimmen; und ii. Bestimmen der Wurzeln r_j, r_j+1..., r₄ durch Lösen des Polynoms fünften Grades.
Verfahren zum Bestimmen von Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codierten Codewort, das fünf oder weniger Fehler aufweist, wobei das Verfahren umfasst: A. Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x), das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; B. Verarbeiten (406) des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x), um ein Polynom zu erzeugen: w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0,wobei b₁ = 0 oder 1 und y = t(x) ist; C. Bestimmen (406) eines Werts von k, sodass
= b'0 ein Element eines Salzes S ist, der die Werte von b'0 enthält, die Lösungen von Gleichungen der Form w(y) = y⁵ + b₂y² + b₁y + b₀ = 0 zugeordnet sind, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen; D. Verwenden (410, 412, 414) von b'0 und
= b'2 , um auf eine Nachschlagtabelle (22) einzutreten und Wurzeln r'i =
zu entnehmen; E. Potenzieren (418) der Wurzeln r'i zu der –2^k Potenz, um Wurzeln y = r'i zu erzeugen; und F. Erzeugen (420) von Wurzeln x = z_i durch Bestimmen von x = t^–1(y), wobei t^–1() die Inverse von t() ist.
Verfahren gemäß Anspruch 5, ferner mit: a. bei dem Schritt des Entnehmens der Wurzeln aus der Nachschlagetabelle, Entnehmen (414) von vier Wurzeln r'0 , r'1 , r'2 und r'3 ; und b. Addieren (416) der vier Wurzeln, um eine fünfte Wurzel r'4 = r'0 + r'1 + r'2 + r'3 zu erzeugen.
Verfahren gemäß Anspruch 5, ferner mit: a. bei dem Schritt des Entnehmens der Wurzeln aus der Nachschlagetabelle Entnehmen (414) von j Wurzeln r'i , i = 0, 1..., j – 1 und j < 5; b. Verarbeiten (416) der Wurzeln r'i , um die Wurzeln r'j , r'j+1 ..., r'4 zu bestimmen.
Verfahren gemäß Anspruch 7, ferner bei dem Schritt des Verarbeitens der Wurzeln r'i ,: i. Verarbeiten der Wurzeln r'i , um ein Polynom des Grades (5 – j) zu bestimmen; und ii. Bestimmen der Wurzeln r'j , r'j+1 ..., r'4 durch Lösen des Polynoms des Grades (5 – j).
Verfahren gemäß Anspruch 5, bei dem der Schritt A umfasst: A(i) Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms σ_e(x) des Grades e, das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; A(ii) falls e < 5 Multiplizieren des Fehlerlokalisierer-Polynoms des Grades e σ_e(x) mit x^5–e, um das Fehlerlokalisierer-Polynom fünften Grades σ₅(x) zu erzeugen; und wobei der Schritt F ferner umfasst: G. Ignorieren von mehrfachen Wurzeln bei x = 0.
Verfahren gemäß Anspruch 5, bei dem das Daten-Codewort mit einem verkürzten Code über GF(2^M) codiert wird, und wobei der Schritt A umfasst: A(i) Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms des Grades e σ_e(x), das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; A(ii) falls e < 5, Verarbeiten des Fehlerlokalisierer-Polynoms des Grades e σ_e(x), um σ₅(x) = σ_e(x)·(x + α^–n)·(x + α^–(n+1))...·(x + α^{–(n+5–e–1)}) zu erzeugen, wobei n die Länge des verkürzten Codes ist; und wobei der Schritt F ferner umfasst: F(i) Ignorieren von Wurzeln, die den nicht verwendeten Fehlerpositionen entsprechen.
Verfahren zum Erzeugen einer Nachschlagetabelle (22) zum Verwenden beim Bestimmen der Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codiert Daten-Codewort mit fünf oder weniger Fehlern, wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst: A. Bestimmen für eine Gleichung der Form w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 = 0,wobei b₁ = 0 oder 1 ist, der zugeordneten Werte von b₂, b₁ und b₀, welche Lösungen mit fünf verschiedenen Wurzeln entsprechen; B. Segmentieren von GF(2^M) in konjugierte Klasen und Bestimmen einer Untermenge von C Klassen, die die Werte von b₀ enthalten, die bei Schritt A bestimmt wurden; C. Auswählen eines entsprechenden Elements b'0 von jeder der C konjugierten Klassen, um die Klassen darzustellen; D. Bestimmen von Werten von b'2 , die den C ausgewählten Werten von b'0 entsprechen und Lösungen von w(y) zugeordnet sind, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen; E. Erzeugen der Tabelle, indem darin bei Positionen, die durch b'0 und b'2 adressiert werden, die Lösungen von w(y), die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen, enthalten sind.
Verfahren gemäß Anspruch 11, mit, bei dem Schritt des Erzeugens der Tabelle (22), Aufnehmen der Lösungen in der Tabelle an Positionen, die durch eine Adresse adressiert werden, die ein Hash von b'2 , b'0 ist.
Verfahren gemäß Anspruch 12, ferner mit, bei dem Schritt des Erzeugens der Tabelle, Erzeugen der Adressen durch Verketten der M-Bit-Symbole b'2 und b'0 , um 2M Spalten zu erzeugen, und Auswählen zur Verwendung bei der Adresse der Spalten, die eine Anzahl von binären Einsen enthalten, die ungefähr gleich einer Hälfte der Anzahl von Einträgen in der Tabelle ist.
Verfahren gemäß Anspruch 11, mit, bei dem Schritt des Erzeugens der Tabelle, Aufnehmen der Lösungen in der Tabelle an Positionen, die durch eine Adresse adressiert werden, die ein Verkettung von b'0 und b'2 ist.
Verfahren gemäß Anspruch 11, mit, bei dem Schritt des Erzeugens der Tabelle, Erzeugen der Tabelle als ein Satz von gestuften Untertabellen, wobei eine Stufe (29) den Werten von b'0 entspricht und Zeiger auf die zweite Stufe aufweist, und die zweite Stufe (25) Untertabellen (28) aufweist, die den ausgewählten Werten von b'0 entsprechen und jeweils Einträge aufweisen, die den zugeordneten Werten von b'2 entsprechen.
Vorrichtung zum Bestimmen von Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codierten Daten-Codewort, das fünf Fehler aufweist, wobei die Vorrichtung umfasst: A. ein Mittel zum Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ(x), das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; B. ein Mittel (14) zum Verarbeiten des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ(x), um ein Polynom zu erzeugen: w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0,wobei b₁ = 0 oder 1 und y = t(x) ist; C. eine Nachschlagetabelle mit 2^2M Einträgen (16), die Lösungen für w(y) aufweist, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen; D. ein Adressiermittel zum Verwenden der Koeffizienten b₂ und b₀, um auf die Nachschlagetabelle mit 2^2M Einträgen zuzugreifen und aus der Tabelle die Wurzel y = r_i von w(y) zu entnehmen; und E. einem Mittel (18) zum Verarbeiten der Wurzeln y = r_i, um die Wurzeln x = z_i zu erzeugen, durch Bestimmen von x = t^–1(y), wobei t^–1() die Inverse von t() ist.
Vorrichtung gemäß Anspruch 16, bei der die Nachschlagetabelle (16) vier Wurzeln, r₀, r₁, r₂, r₃ gespeichert hat und einen Addierer (17) zum Addieren der vier Wurzeln aufweist, um eine fünfte Wurzel r_i = r₀ + r₁ + r₂ + r₃ zu erzeugen.
Vorrichtung gemäß Anspruch 16, bei der die Nachschlagetabelle (16) j Wurzeln r_i, i = 0, 1..., j – 1 gespeichert hat, wobei j < 5 ist und die Vorrichtung ferner Mittel zum Verarbeiten der gespeicherten Wurzeln r_i aufweist, um die Wurzeln r_j, r_j+1..., r₄ zu bestimmen.
Vorrichtung gemäß Anspruch 18, bei der das Mittel zum Verarbeiten der gespeicherten Wurzeln aufweist: i. ein Mittel zum Verarbeiten der Wurzeln r_i, um ein Polynom des Grades (5 – j) zu bestimmen; und ii. ein Mittel zum Bestimmen der Wurzeln r_j, r₊₁..., r₄ durch Lösen des Polynoms fünften Grades (5 – j).
Vorrichtung zum Bestimmen von Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codierten Daten-Codewort, das fünf oder weniger Fehler aufweist, wobei die Vorrichtung umfasst: A. ein Mittel zum Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x), das dem Daten-Codewort zugeordnet ist; B. ein Mittel (14) zum Verarbeiten des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x), um ein Polynom zu erzeugen: w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0,wobei b₁ = 0 oder 1 und y = t(x) ist; C. ein Mittel (14) zum Bestimmen eines Wertes von k, sodass
= b'0 ein Element eines Salzes S ist, der die Werte von b'0 enthält, die Lösungen von Gleichungen der Form w(y) = y⁵ + b₂y² + b₂y² + b₁y = 0 zugeordnet sind, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen; D. eine Nachschlagetabelle mit C Elementen (22), wobei C der Anzahl von konjugierten Klassen zugeordnet ist, die Lösungen zu w(y) enthalten, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen; E. ein Adressiermittel zum Zugreifen auf die Nachschlagetabelle, wobei das Adressiermittel b'0 und
= b'2 verwendet, um auf die Tabelle zuzugreifen und die Wurzeln r'i 'i =
zu entnehmen; F. ein Mittel (24) zum Potenzieren der Wurzeln r'i zu der –2^k Potenz, um Wurzeln y = r_i zu erzeugen; und G. ein Mittel (24) zum Erzeugen von Wurzeln x = z_i durch Bestimmen x = t^–1(y), wobei t^–1() die Inverse von t() ist.
Vorrichtung gemäß Anspruch 20, bei der die Nachschlagetabelle (22) für jeden Eintrag vier Wurzeln r'0, r'1 , r'2 und r'3 aufweist, wobei die Vorrichtung ferner einen Addierer (23) aufweist, der die vier Wurzeln addiert, um eine fünfte Wurzel r'4 = r'0 + r'1 + r'2 + r'3 zu erzeugen.
Vorrichtung gemäß Anspruch 20, bei der die Nachschlagetabelle für jeden Eintrag j Wurzeln r'i , i = 0, 1..., j – 1, umfasst, wobei j < 5 ist und die Vorrichtung ferner Mittel zum Verarbeiten der Wurzeln r'i aufweist, um die Wurzeln r_j, r_j+1..., r₄ zu bestimmen.
Vorrichtung gemäß Anspruch 22, bei dem Mittel zum Verarbeiten der Wurzeln r'i die Wurzeln r'i verarbeitet, um ein Polynom des Grades (5 – j) zu bestimmen, und die Wurzeln r'i , r'j+1 ..., r'4 durch Lösen des Polynoms des Grades (5 – j) bestimmt.
Vorrichtung gemäß Anspruch 20, bei der das Mittel zum Bestimmen des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x) ferner umfasst: ein Mittel zum Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms σ₅(x) des Grades e, das dem Daten-Codewort zugeordnet ist, wobei das Mittel das Fehlerlokalisierer-Polynom σ₅(x) des Grades e mit x^5–e multipliziert, um das Fehlerlokalisierer-Polynom fünften Grades σ₅(x) zu erzeugen, falls e < 5 ist; und wobei das Mittel zum Erzeugen der Wurzeln x = z_i mehrfache Wurzeln bei x = 0 ignoriert.
Vorrichtung gemäß Anspruch 20, bei der das Daten-Codewort mit einem verkürzten Code über GF(2^M) codiert wird, und wobei das Mittel zum Bestimmen des Fehlerlokalisierer-Polynoms fünften Grades σ₅(x) ferner umfasst: ein Mittel zum Bestimmen eines Fehlerlokalisierer-Polynoms σ_e(x) des Grades e, das dem Daten-Codewort zugeordnet ist, wobei das Mittel das Fehlerlokalisierer-Polynom σ_e(x) verarbeitet, um zu erzeugen σ5(x) = σe(x)·(x + α–n)·(x + α–(n+1))...·(x + α–(n+5–e–1))falls e < 5 ist, wobei n die Länge des verkürzten Codes ist; und wobei das Mittel zum Erzeugen der Wurzeln x = z_i Wurzeln ignoriert, die nicht benutzten Fehlerpositionen entsprechen.
Vorrichtung zum Erzeugen einer Nachschlagetabelle (22) zum Verwenden beim Bestimmen der Fehlerpositionen in einem über GF(2^M) codierten Daten-Codewort mit fünf oder weniger Fehlern, wobei die Vorrichtung umfasst: A. ein Verarbeitungsmittel zum Bestimmen für eine Gleichung der Form w(y) = y5 + b2y2 + b1y + b0 = 0wobei b₁ = 0 oder 1, der zugeordneten Werte von b₂, b₁ und b₀, die den Lösungen mit fünf verschiedenen Wurzeln entsprechen; B. ein Mittel zum Segmentieren GF(2^M) in konjugierte Klassen und Bestimmen einer Untermenge von C Klassen, die die Werte von b₀ enthalten, die durch das Verabeitungsmittel bestimmt wurden; C. ein Mittel zum Auswählen eines entsprechenden Elements b'0 jeder der C konjugierten Klassen, um die Klassen darzustellen; D. ein Mittel zum Bestimmen von Werten von b'0 , die den C ausgewählten Werten von b'0 entsprechen und Lösungen von w(y) zugeordnet sind, die fünf verschiedene Wurzeln aufweisen: E. ein adressiertes Speicherlokalisierungsmittel zum Erzeugen der Tabelle, der bei Positionen, die durch b'0 und b'2 adressiert werden, die Lösungen von w(y) aufgenommen sind, die fünf verschiedene Wurzeln umfassen.
Vorrichtung gemäß Anspruch 26, bei der das adressierte Speicherlokalisierungsmittel die Lösungen in der Tabelle bei Positionen aufweist, die durch einen Hash von b'2 , b'0 adressiert werden.
Vorrichtung gemäß Anspruch 27, bei der das adressierte Speicherlokalisierungsmittel ferner die Lösungen in der Tabelle bei Positionen umfasst, die durch Verketten der M-Bit-Symbole b'2 und b'0 adressiert werden, um 2M Spalten zu erzeugen, und mit Auswählen zum Gebrauch bei der Adresse der Spalten, die eine Anzahl von binären Einsen enthalten, die ungefähr gleich einer Hälfte der Anzahl von Einträgen in der Tabelle ist.
Vorrichtung gemäß Anspruch 26, bei der das adressierte Speicherlokalisierungsmittel ferner die Lösungen in der Tabelle bei Positionen aufweist, die durch eine Verkettung der Symbole b'0 und b'2 adressiert werden.
Vorrichtung gemäß Anspruch 26, bei der das adressierte Speicherlokalisierungsmittel ferner ein Mittel zum Erzeugen der Tabelle (22) als einen Satz von gestuften Untertabellen aufweist, wobei eine Stufe (29) den Werten von b'0 entspricht und Zeiger auf die zweite Stufe (25) aufweist, und wobei die zweite Stufe Untertabellen (28) aufweist, die den ausgewählten Werten von b'0 entsprechen und jeweils Einträge aufweisen, die den zugeordneten Werten von b'2 entsprechen.