EP1260470A2 - Method and device for active dampening of vibrations in winding machines - Google Patents

Method and device for active dampening of vibrations in winding machines Download PDF

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EP1260470A2
EP1260470A2 EP02010992A EP02010992A EP1260470A2 EP 1260470 A2 EP1260470 A2 EP 1260470A2 EP 02010992 A EP02010992 A EP 02010992A EP 02010992 A EP02010992 A EP 02010992A EP 1260470 A2 EP1260470 A2 EP 1260470A2
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EP
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roller
rotation
bodies
axis
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Voith Paper Jagenberg GmbH
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    • Y10TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC
    • Y10STECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS
    • Y10S242/00Winding, tensioning, or guiding
    • Y10S242/907Vibration creation or dampening

Definitions

  • the invention relates to a method for damping vibrations during winding of material webs - especially paper and cardboard webs - according to the generic term of claim 1, and a winding machine according to the preamble of claim 8.
  • Winding machines are known in a variety of different constructions and serve the winding of a material web into winding rolls. In the production of paper or Cardboard webs are wound up the finished, several meters wide, web either at the end of the paper machine or at the end of a downstream one Coater.
  • Such winding machines are, for example, from the scriptures DE 40 07 329 A1 and EP 0 792 829 A2 are known.
  • the winding machine from the Document DE 40 07 329 A1 corresponds to the design of the so-called Pope-Roller.
  • Another design of a Pope-Roller is shown in EP 0 792 829 A2, in which during winding the winding axis remains stationary, but the pressure roller in Dependency with the increasing winding is traversed horizontally.
  • the web is used divided by several longitudinal cuts into individual webs, which are wound on cores that are usually made of cardboard.
  • This winding on tubes takes place either on so-called carrier roll winding machines or on so-called back-up roll winding machines.
  • a carrier roll winding machine is known in which the Webs are wound in an upper gusset between the two support rollers. In the outer ends of the outer sleeves engage guide heads for an axial Prevent moving the winding rollers in the changing bed.
  • This Winding machine is called backup roll winding machine.
  • winding machines mentioned have in common that always at least one Roll and at least one winding roller form a pressure line with each other. Partially these winding machines also have an additional pressure roller that Provide winding rollers with an additional contact pressure from above. Is also the mentioned winding machines in common that it is, for example, due to unbalance of the rollers and above all through the winding rollers, vibrate can. The vibrations caused by imbalance are synchronized with the rotational frequencies of the Rollers or the winding rolls. Fluctuations - for example in the thickness - of the material to be wound up, however, lead to extensive use of the winding rolls Out of roundness of the surface. This triggers additional vibrations, in the case of carrier roll winding machines, in extreme cases, for jumping out of the winding roll can lead out of the changing bed.
  • the shifting of the axis of rotation sees a "belly" of the winding roll - hers otherwise circular shape - such that the axes of rotation of the roller and the Winding roll for a short time at a greater distance for the duration of the "belly” brought together. In the event of a "dent" in the winding roll, this is done accordingly a reduction in the distance between the axes of rotation.
  • the axis of rotation of the winding roll or the roller or both axes of rotation be relocated at the same time.
  • the vibration damping according to the invention can also be described as follows: A roll and a winding roll each roll with their outer surfaces on each other from that the cylindrical circumference of the roller of the quasi-cylindrical surface of the Winding roll follows. Any consciously counter a roller by briefly increasing the force a "bump” would be pressed, so would be the elasticity of the winding roll and if necessary, also of the roller covering, the winding roll away from the "dent" be accelerated. This would cause vibrations.
  • a winding roll is circular and also concentric, but its focus is not on its axis of rotation, the winding roller and would also stimulate the winding machine to vibrate.
  • a roller does not necessarily have to be shifted axially parallel, but instead it can be reacted individually at the bearing points with the axis shift.
  • Additional energy is used to move the rotary axes, which is independent of a current energy state of the vibrating system (winding roll and support roller or pressure roller). This allows the additional energy to vibrate Do not make the system vibrate.
  • the additional energy supplied by a powerful hydraulic pump and becomes this hydraulic pump additionally only driven in their lower power range, so one in lower range of the pump characteristic, not the vibration system stimulate.
  • the type of vibration damping according to the invention is an active one Vibration damping.
  • the momentary vibration forces are the momentary vibration accelerations proportional. Therefore, not only within the scope of the invention Vibration forces are measured for the evaluation of the vibration, but also the acceleration itself or the related physical quantities such as path and speed. By suitable differentiation and / or arithmetic then either determine the forces or use the above physical quantities without further processing for the control process of the active vibration damping.
  • Active vibration damping is also known from vehicle construction, where then the noise inside the vehicle was measured at a very high sampling rate to then by means of a targeted control of speakers, which then - In contrast to the vibration damping according to the invention - in the opposite phase vibrate and thus cause sound cancellation.
  • vehicle construction the energies required for active damping, in relation to the winding technology, but only a tiny fraction. This becomes clearer when you shows that according to the current state of the art, a finished The winding roll on the Pope-Roller can weigh over 100 tons.
  • FIG. 1 shows a carrier roller winding machine with two rollers a, b.
  • Winding roll and / or roller can experience an active vibration damping and because of the avoidance of OR wording in the characterizing part of the Main claims or in the subclaims refer to the correspondences here referred to the term "body”.
  • a material web 16 partially wraps around the Roller a and is by the direction of rotation of the rollers a, b on a sleeve 15th wound.
  • a pressure roller d can optionally be present.
  • the roller b has over two bearings 7 (due to the side view in Figure 1, only one bearing being represented).
  • a sensor 9 is located on at least one of the bearings 7 arranged. This transducer 9 is not affected by forces, because he is not in the power flow between winding roll c and an abutment 18th located. However, if the transducer 9 is an acceleration transducer, then he is able to move the bearing 7 due to vibrations to register.
  • the bearing 7 is by means of a strut 17 and an abutment 19 in essentially held in its horizontal position.
  • an actuator 11 preferably in the form of a hydraulic cylinder, arranged. Connection lines of the hydraulic cylinder were here for the sake of Clarity omitted. Alternatively, linear motors are also used as actuators 11 usable.
  • FIG 3 shows a further arrangement of the actuators 11, 12 in a To illustrate the support roller winding machine.
  • the actuators 11, 12 aligned horizontally.
  • the guides 13, 14 need only because of the weight of the Winding roll c be designed to support one side.
  • the actuators 11, 12th horizontally aligned so you can react more sensitively, because the horizontal Component allows small vertical components with a large travel range.
  • FIG. 4 shows a three-roll winding machine.
  • Winding rolls c alternate to the apex line of the roller d and perpendicular to the plane of the drawing staggered. This allows everyone on both sides Grip winding roller c in the sleeves 15 guide heads.
  • the vertical alignment of the actuators 11, 12 has been realized.
  • the roller d does not experience active vibration damping in this exemplary embodiment.
  • FIG. 1 The attack of guide heads in the winding rolls c - in connection with the Active vibration damping according to the invention is shown in FIG.
  • the Dashed double circles on the roller d show the sleeves 15 in their position during the start of wrapping.
  • On a roller d are alternating to their The winding rollers are offset vertically and perpendicular to the plane of the drawing c arranged. Therefore, the ends of the sleeves 15 of each winding roll are c for Guide heads accessible.
  • the winding rolls c raised by actuators in such a way that not the full weight of the roller c comes into play.
  • the contact pressure of the winding roll c on the Roller d are dimensioned smaller than the normal force of the winding roll weight.
  • the Mechanism for lifting the winding roller c combined with the active vibration damping is now the Mechanism for lifting the winding roller c combined with the active vibration damping. It goes without saying that here also one by means of the guide heads additional contact pressure could be realized.
  • the active vibration damping not only for carrier or back-up roll winding machines, i.e. for lengthways divided material webs 16 can be used, but also for the Pope-Roller and its further developments. Here can then both on the Bearings of the pressure roller, as well as an active on the bearings of the winding axis Vibration damping act. Furthermore, the present invention can also be applied to Wrapping machines and also at unwinding stations for coating machines be applied.

Abstract

The winding machine includes two or more rolling cylinders (a,b,c,d) which together form a vibrating system through an imbalance or out-of-roundness. At least one of the cylinders experiences an active damping in relation to the vibration forces so that a number of vibration force measurements are taken per revolution of one of the cylinders. The rotary axis of at least one cylinder is then shifted by extra energy supplied from outside depending on the actual measured value so that the vibration forces are reduced. Independent claim describes device where a cylinder is fitted at the ends with movable bearings (6,7,8) associated with measured value recorders (9,10).

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Dämpfung von Schwingungen beim Wickeln von Materialbahnen - insbesondere von Papier- und Kartonbahnen- gemäß dem Oberbegriff des Patentanspruches 1, sowie eine Wickelmaschine gemäß dem Oberbegriff des Patentanspruches 8.The invention relates to a method for damping vibrations during winding of material webs - especially paper and cardboard webs - according to the generic term of claim 1, and a winding machine according to the preamble of claim 8.

Wickelmaschinen sind in vielfältig verschiedenen Konstruktionen bekannt und dienen dem Aufwickeln einer Materialbahn zu Wickelrollen. Bei der Produktion von Papieroder Kartonbahnen erfolgt das Aufwickeln der fertigen, mehrere Meter breiten, Bahn entweder am Ende der Papiermaschine oder auch am Ende einer nachgeordneten Streichmaschine. Derartige Wickelmaschinen sind beispielsweise aus den Schriften DE 40 07 329 A1 und EP 0 792 829 A2 bekannt. Die Wickelmaschine aus der Schrift DE 40 07 329 A1 entspricht der Bauform des sogenannten Pope-Rollers. In der EP 0 792 829 A2 wird eine andere Bauform eines Pope-Rollers gezeigt, bei der während des Wickelns die Wickelachse ortsfest bleibt, aber die Druckwalze in Abhängigkeit mit dem größer werdenden Wickel horizontal verfahren wird.Winding machines are known in a variety of different constructions and serve the winding of a material web into winding rolls. In the production of paper or Cardboard webs are wound up the finished, several meters wide, web either at the end of the paper machine or at the end of a downstream one Coater. Such winding machines are, for example, from the scriptures DE 40 07 329 A1 and EP 0 792 829 A2 are known. The winding machine from the Document DE 40 07 329 A1 corresponds to the design of the so-called Pope-Roller. In Another design of a Pope-Roller is shown in EP 0 792 829 A2, in which during winding the winding axis remains stationary, but the pressure roller in Dependency with the increasing winding is traversed horizontally.

Um schmalere Wickelrollen mit höherer Wickelqualität herzustellen, wird die Bahn durch mehrere Längsschnitte in Einzelbahnen aufgeteilt, die auf Hülsen aufgewickelt werden, die üblicherweise aus Pappe hergestellt sind.In order to produce narrower winding rolls with higher winding quality, the web is used divided by several longitudinal cuts into individual webs, which are wound on cores that are usually made of cardboard.

Dieses Aufwickeln auf Hülsen erfolgt entweder auf sogenannten Tragwalzen-Wickelmaschinen oder auf sogenannten Stützwalzen-Wickelmaschinen. Aus der Schrift WO 93/25461 ist eine Tragwalzen-Wickelmaschine bekannt, bei der die Bahnen in einem oberen Zwickel zwischen den beiden Tragwalzen gewickelt wird. In die äußeren Enden der äußeren Hülsen greifen Führungsköpfe hinein, um ein axiales Verschieben die Wickelrollen in dem Wickelbett zu verhindern. Mit der Schrift WO 93/15988 wird eine Wickelmaschine offenbart, die nur eine Walze aufweist. Diese Wickelmaschine wird Stützwalzen-Wickelmaschine genannt. Im oberen Bereich dieser Stützwalze liegen die Wickelrollen - bezogen auf die Scheitellinie der Stützwalze - alternierend zueinander versetzt an. Zum Halten der Wickelrollen auf der Stützwalze greifen in die Hülsen der Wickelrolle beidseitig Führungsköpfe hinein, die zur Verminderung des Auflagegewichtes der Wickelrollen auf der Stützwalze mit Kolben-Zylinder-Einheiten verbunden sind.This winding on tubes takes place either on so-called carrier roll winding machines or on so-called back-up roll winding machines. From the Document WO 93/25461 a carrier roll winding machine is known in which the Webs are wound in an upper gusset between the two support rollers. In the outer ends of the outer sleeves engage guide heads for an axial Prevent moving the winding rollers in the changing bed. With the font WO 93/15988 a winding machine is disclosed which has only one roller. This Winding machine is called backup roll winding machine. At the top of this Back-up roller are the winding rollers - based on the apex line of the back-up roller - alternately offset from each other. For holding the winding rolls on the support roller reach into the sleeves of the winding roll on both sides of the guide heads for Reduction of the weight of the winding rollers on the support roller with piston-cylinder units are connected.

Bei einem weiteren Stand der Technik, der Schrift DE 32 43 994 A1, wird eine Tragwalzen-Wickelmaschine beschrieben, bei der insgesamt drei Tragwalzen achsparallel nebeneinander vorhanden sind. Dadurch entstehen insgesamt zwei Wickelbetten, in denen die Wickelrollen alternierend angeordnet sind.In another prior art, the document DE 32 43 994 A1, a Carrier roller winding machine described in the total of three carrier rollers are axially parallel next to each other. This creates a total of two Changing beds in which the winding rolls are arranged alternately.

Diesen genannten Wickelmaschinen ist gemeinsam, daß immer mindestens eine Walze und mindestens eine Wickelrolle miteinander eine Anpreßlinie bilden. Teilweise verfügen diese Wickelmaschinen auch noch über eine zusätzliche Druckwalze, die die Wickelrollen von oben her mit einer zusätzlichen Anpreßkraft versehen. Ebenfalls ist den genannten Wickelmaschinen gemeinsam, daß es beispielsweise durch Unwucht der Walzen und vor allen Dingen durch die Wickelrollen, zu Schwingungen kommen kann. Die Schwingungen durch Unwucht sind synchron zu den Drehfrequenzen der Walzen oder der Wickelrollen. Schwankungen - beispielsweise in der Dicke - des aufzuwickelnden Materials, führen bei den Wickelrollen jedoch zu umfänglichen Unrundheiten der Oberfläche. Dadurch werden zusätzliche Schwingungen ausgelöst, die bei Tragwalzen-Wickelmaschinen im Extremfall zum Herausspringen der Wickelrolle aus dem Wickelbett führen können.These winding machines mentioned have in common that always at least one Roll and at least one winding roller form a pressure line with each other. Partially these winding machines also have an additional pressure roller that Provide winding rollers with an additional contact pressure from above. Is also the mentioned winding machines in common that it is, for example, due to unbalance of the rollers and above all through the winding rollers, vibrate can. The vibrations caused by imbalance are synchronized with the rotational frequencies of the Rollers or the winding rolls. Fluctuations - for example in the thickness - of the material to be wound up, however, lead to extensive use of the winding rolls Out of roundness of the surface. This triggers additional vibrations, in the case of carrier roll winding machines, in extreme cases, for jumping out of the winding roll can lead out of the changing bed.

In der Schrift DE 196 29 205 A1 wird ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Aufwickeln einer Papierbahn zu einer Wickelrolle mit Schwingungsdämpfung beschrieben. Dort wird ein Pope-Roller unter Zuhilfenahme von abgestimmten Feder-Masse-Systemen - in Verbindung mit Tilgern (= Stoßdämpfer) - in Parallel- und/oder Reihenschaltung, zu einem in Gegenphase schwingenden System aufgebaut. Dieses System ist entweder noch mit einer schwingfähigen oder mit einer unendlich großen Zusatzmasse- beispielsweise in Form einer Wand - realisiert. Es erfolgt zwar die Erfassung der horizontalen Schwingungsanteile mittels Bewegungssensoren um das System abzustimmen, jedoch kann durch diese Abstimmung das System nur in einer typischen Grundfrequenz (die im wesentlichen der Drehfrequenz der Wickelrolle entspricht) und in den ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz schwingen. Ein direktes Reagieren auf momentane, nichtperiodische Unebenheiten der Wickelrolle - also auf Frequenzanteile kleiner als die Drehfrequenz - ist nicht möglich.In the document DE 196 29 205 A1 a method and an apparatus for Winding a paper web into a winding roll with vibration damping described. There is a Pope-Roller with the help of coordinated spring-mass systems - in connection with absorbers (= shock absorbers) - in parallel and / or Series connection, built into a system oscillating in opposite phase. This System is either with an oscillatory or with an infinitely large Additional mass - for example in the form of a wall - realized. It does happen Detection of the horizontal vibration components using motion sensors around the System, but this system can only be used in one typical fundamental frequency (which essentially corresponds to the rotational frequency of the winding roll) and vibrate in integer multiples of the fundamental frequency. On direct reaction to current, non-periodic unevenness of the winding roll - So on frequency components smaller than the rotational frequency - is not possible.

Es ist deshalb Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren und eine Wickelmaschine bereitzustellen, mit dem sich Schwingungen beim Wickeln reduzieren oder sogar vermeiden lassen.It is therefore an object of the invention, a method and a winding machine to provide, with which vibrations during winding are reduced or even avoid.

Die Aufgabe wird durch die kennzeichnenden Merkmale der Ansprüche 1 und 8 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen ergeben sich aus den Unteransprüchen und der Figurenbeschreibung.The object is achieved by the characterizing features of claims 1 and 8 solved. Advantageous embodiments result from the subclaims and the Figures.

Gemäß der Erfindung werden auftretende Schwingungskräfte (= dynamische Kräfte) mindestens einer Walze oder einer Wickelrolle mit einer hohen Abtastrate (Abtastrate = Anzahl der Messungen pro Sekunde) gemessen, um dann durch ein unmittelbares Verlagern der Drehachse des schwingenden Körpers, die Schwingungskräfte zu reduzieren.According to the invention, occurring vibrational forces (= dynamic forces) at least one roller or one winding roller with a high sampling rate (sampling rate = Number of measurements per second), then measured by an immediate Relocate the axis of rotation of the vibrating body, the vibrational forces too to reduce.

Das Verlagern der Drehachse sieht bei einem "Bauch" der Wickelrolle - bei ihrer ansonsten kreisrunden Form - derart aus, daß die Drehachsen der Walze und der Wickelrolle für die Dauer des "Bauches" kurzzeitig in einem größeren Abstand zueinander gebracht werden. Bei einer "Delle" in der Wickelrolle erfolgt entsprechend eine Verminderung des Abstandes der Drehachsen. Im Rahmen der Erfindung kann die Drehachse der Wickelrolle oder der Walze oder können auch beide Drehachsen gleichzeitig verlagert werden.The shifting of the axis of rotation sees a "belly" of the winding roll - hers otherwise circular shape - such that the axes of rotation of the roller and the Winding roll for a short time at a greater distance for the duration of the "belly" brought together. In the event of a "dent" in the winding roll, this is done accordingly a reduction in the distance between the axes of rotation. Within the scope of the invention the axis of rotation of the winding roll or the roller or both axes of rotation be relocated at the same time.

Die erfindungsgemäße Schwingungsdämpfung kann man auch wie folgt beschreiben: Je eine Walze und eine Wickelrolle rollen mit ihren Mantelflächen derart aufeinander ab, daß der zylindrische Umfang der Walze der quasi zylindrischen Oberfläche der Wickelrolle folgt. Würde eine Walze mittels kurzzeitiger Kräfterhöhung bewußt gegen eine "Beule" gepreßt werden, so würde durch Elastizitäten der Wickelrolle und gegebenenfalls auch des Walzenbelages, die Wickelrolle von der "Beule" weg beschleunigt werden. Dieses würde Schwingungen entstehen lassen.The vibration damping according to the invention can also be described as follows: A roll and a winding roll each roll with their outer surfaces on each other from that the cylindrical circumference of the roller of the quasi-cylindrical surface of the Winding roll follows. Would consciously counter a roller by briefly increasing the force a "bump" would be pressed, so would be the elasticity of the winding roll and if necessary, also of the roller covering, the winding roll away from the "dent" be accelerated. This would cause vibrations.

Ist jedoch eine Wickelrolle kreisrund und auch konzentrisch, aber ihr Schwerpunkt liegt nicht auf ihrer Drehachse, so kommt es zu Unwucht, die die Wickelrolle und auch die Wickelmaschine zu Schwingungen anregen würden. Nähert sich nun beim Wickeln der Schwerpunkt der Wickelrolle, einer gedachten Verbindungslinie zwischen seiner Drehachse und der Nip-Linie mit der Walze, so erfährt die Walze höhere Lagerkräfte. Durch Elastizitäten der Wickelrolle und gegebenenfalls auch des Walzenbelages, würde sich die Exzentrizität und damit die Unwucht noch erhöhen. Deshalb ist dann ein Entgegenpressen der Walze gegen die Exzentrizität erforderlich, welches mit einer Annäherung der Walzendrehachse zur Drehachse der Wickelrolle einhergeht. Dieses kann ebenfalls auch Verlagerung der Walzendrehachse genannt werden.However, a winding roll is circular and also concentric, but its focus is not on its axis of rotation, the winding roller and would also stimulate the winding machine to vibrate. Now approaches the Wind the center of gravity of the winding roll, an imaginary connecting line between its axis of rotation and the nip line with the roller, the roller experiences higher Bearing forces. Due to elasticities of the winding roll and possibly also the Roller covering, the eccentricity and thus the unbalance would increase. Therefore, the roller must be pressed against the eccentricity, which with an approximation of the roll axis of rotation to the axis of rotation of the winding roll accompanied. This can also be called shifting the roll axis of rotation become.

Es kann auch vorkommen, daß Unwucht und/oder Unrundheiten einer Wickelrolle sich an den Walzenenden einer verlagerbaren Walze unterschiedlich stark auswirken. Deshalb muß eine Walze dann nicht unbedingt achsparallel verlagert werden, sondern es kann an den Lagerstellen individuell mit der Achsverlagerung reagiert werden.There may also be imbalance and / or out-of-roundness of a winding roll affect the roller ends of a displaceable roller to different degrees. Therefore, a roller does not necessarily have to be shifted axially parallel, but instead it can be reacted individually at the bearing points with the axis shift.

Für das Verlagern der Drehachsen wird eine Zusatzenergie verwendet, die unabhängig von einem momentanen Energiezustand des schwingenden Systems (Wickelrolle und Tragwalze bzw. Druckwalze) ist. Dadurch kann die Zusatzenergie das schwingenden System nicht zum Schwingen anregen. Wird die Zusatzenergie zum Beispiel von einer leistungsstarken Hydraulikpumpe geliefert und wird diese Hydraulikpumpe zusätzlich nur in ihrem unteren Leistungsbereich gefahren, so kann auch eine im oberen Bereich der Pumpenkennlinie abfallende Leistung, nicht das Schwingungssystem anregen. Die Art der erfindungsgemäßen Schwingungsdämpfung ist eine aktive Schwingungsdämpfung.Additional energy is used to move the rotary axes, which is independent of a current energy state of the vibrating system (winding roll and support roller or pressure roller). This allows the additional energy to vibrate Do not make the system vibrate. For example, the additional energy supplied by a powerful hydraulic pump and becomes this hydraulic pump additionally only driven in their lower power range, so one in lower range of the pump characteristic, not the vibration system stimulate. The type of vibration damping according to the invention is an active one Vibration damping.

Die momentanen Schwingungskräfte sind den momentanen Schwingungsbeschleunigungen proportional. Im Rahmen der Erfindung können deshalb nicht nur die Schwingungskräfte für die Bewertung der Schwingung gemessen werden, sondern auch die Beschleunigung selbst oder die verwandten physikalischen Größen wie Weg und Geschwindigkeit. Durch geeignetes Differenzieren und/oder Rechnen lassen sich entweder dann die Kräfte ermitteln oder man verwendet die oben genannten physikalischen Größen auch ohne weitere Bearbeitung für den Steuerungsprozeß der aktiven Schwingungsdämpfung.The momentary vibration forces are the momentary vibration accelerations proportional. Therefore, not only within the scope of the invention Vibration forces are measured for the evaluation of the vibration, but also the acceleration itself or the related physical quantities such as path and speed. By suitable differentiation and / or arithmetic then either determine the forces or use the above physical quantities without further processing for the control process of the active vibration damping.

Die aktive Schwingungsdämpfung ist auch schon aus dem Fahrzeugbau bekannt, wo dann die Geräusche im Fahrzeuginnern mit einer sehr hohen Abtastrate gemessen werden, um dann mittels einer gezielten Ansteuerung von Lautsprechern, die dann - im Gegensatz zur erfindungsgemäßen Schwingungsdämpfung - in Gegenphase schwingen und somit eine Schallauslöschung zu bewirken. Im Fahrzeugbau machen die benötigten Energien für die aktive Dämpfung, im Verhältnis zur Wickeltechnik, jedoch nur einen winzigen Bruchteil aus. Dieses wird um so deutlicher, wenn man sich vor Augen führt, daß nach dem heutigen Stand der Technik, eine fertige Wickelrolle auf dem Pope-Roller über 100 Tonnen wiegen kann.Active vibration damping is also known from vehicle construction, where then the noise inside the vehicle was measured at a very high sampling rate to then by means of a targeted control of speakers, which then - In contrast to the vibration damping according to the invention - in the opposite phase vibrate and thus cause sound cancellation. Do in vehicle construction the energies required for active damping, in relation to the winding technology, but only a tiny fraction. This becomes clearer when you shows that according to the current state of the art, a finished The winding roll on the Pope-Roller can weigh over 100 tons.

Die Erfindung soll nun anhand der vereinfachten Zeichnungen näher erläutert werden.The invention will now be explained in more detail with reference to the simplified drawings.

Es zeigen:

Figur 1
eine Tragwalzen-Wickelmaschine mit aktiver Schwingungsdämpfung für eine Tragwalze mit vertikaler Ausrichtung der Schwingungsdämpfung;
Figur 2
eine Tragwalzen-Wickelmaschine mit aktiver Schwingungsdämpfung für beide Tragwalzen mit zentrischer Ausrichtung der Schwingungsdämpfung;
Figur 3
eine Tragwalzen-Wickelmaschine mit aktiver Schwingungsdämpfung für beide Tragwalzen mit waagerechter Ausrichtung der Schwingungsdämpfung;
Figur 4
eine Tragwalzen-Wickelmaschine mit drei Walzen und mit aktiver Schwingungsdämpfung für zwei Tragwalzen mit waagerechter Ausrichtung der Schwingungsdämpfung;
Figur 5
eine Stützwalzen-Wickelmaschine mit nur einer Walze und mit aktiver Schwingungsdämpfung für die Wickelrolle mit zentrischer Ausrichtung der Schwingungsdämpfung.
Show it:
Figure 1
a carrier roller winding machine with active vibration damping for a carrier roller with vertical alignment of the vibration damping;
Figure 2
a carrier roller winding machine with active vibration damping for both carrier rollers with a central alignment of the vibration damping;
Figure 3
a carrier roller winding machine with active vibration damping for both carrier rollers with horizontal alignment of the vibration damping;
Figure 4
a carrier roller winding machine with three rollers and with active vibration damping for two carrier rollers with horizontal alignment of the vibration damping;
Figure 5
a backup roller winding machine with only one roller and with active vibration damping for the winding roller with a central alignment of the vibration damping.

In der Figur 1 ist eine Tragwalzen-Wickelmaschine mit zwei Walzen a, b dargestellt. Auf den Walzen a, b (= Körper) ruht die Wickelrolle c (= Körper). Da erfindungsgemäß Wickelrolle und/oder Walze eine aktive Schwingungsdämpfung erfahren können und wegen der Vermeidung von Oder-Formulierungen im kennzeichnenden Teil der Hauptansprüche bzw. in den Unteransprüchen, wird hier auf die Entsprechungen zu dem Begriff "Körper" hingewiesen. Eine Materialbahn 16 umschlingt teilweise die Walze a und wird durch die Drehrichtung der Walzen a, b auf eine Hülse 15 aufgewickelt. Eine Druckwalze d kann optional vorhanden sein. Die Walze b verfügt über zwei Lager 7 (bedingt durch die Seitenansicht in der Figur 1 kann nur ein Lager dargestellt werden). Auf mindestens einem der Lager 7 ist ein Meßwertaufnehmer 9 angeordnet. Dieser Meßwertaufnehmer 9 erfährt keine Einwirkung durch Kräfte, da er sich nicht in dem Kraftfluß zwischen Wickelrolle c und einem Widerlager 18 befindet. Ist der Meßwertaufnehmer 9 jedoch ein Beschleunigungsaufnehmer, so ist er in der Lage, durch Schwingungen bedingte Bewegungen des Lagers 7 zu registrieren. Das Lager 7 wird mittels einer Strebe 17 und eines Widerlagers 19 im wesentlichen in seiner horizontalen Position gehalten. Zwischen dem Lager 7 und dem Widerlager 18 ist ein Stellorgan 11, bevorzugt in Form eines Hydraulikzylinders, angeordnet. Anschlußleitungen des Hydraulikzylinders wurden hier aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen. Alternativ sind als Stellorgane 11 auch Linearmotoren verwendbar. Liefert nun der Meßwertaufnehmer 9 ein Signal über eine "Beule" in der Wickelrolle c, so kann eine nicht dargestellte Auswerteelektronik in Abhängigkeit von dem Signal des Meßwertaufnehmers 9, einen vertikalen Stellweg für das Lager 7 bewirken. Durch den Stellweg kommt es zu einer achsparallelen Verlagerung der Drehachse 2 der Walze b.FIG. 1 shows a carrier roller winding machine with two rollers a, b. The winding roller c (= body) rests on the rollers a, b (= body). Because according to the invention Winding roll and / or roller can experience an active vibration damping and because of the avoidance of OR wording in the characterizing part of the Main claims or in the subclaims refer to the correspondences here referred to the term "body". A material web 16 partially wraps around the Roller a and is by the direction of rotation of the rollers a, b on a sleeve 15th wound. A pressure roller d can optionally be present. The roller b has over two bearings 7 (due to the side view in Figure 1, only one bearing being represented). A sensor 9 is located on at least one of the bearings 7 arranged. This transducer 9 is not affected by forces, because he is not in the power flow between winding roll c and an abutment 18th located. However, if the transducer 9 is an acceleration transducer, then he is able to move the bearing 7 due to vibrations to register. The bearing 7 is by means of a strut 17 and an abutment 19 in essentially held in its horizontal position. Between camp 7 and the abutment 18 is an actuator 11, preferably in the form of a hydraulic cylinder, arranged. Connection lines of the hydraulic cylinder were here for the sake of Clarity omitted. Alternatively, linear motors are also used as actuators 11 usable. Now delivers the transducer 9 a signal via a "dent" in the Winding roll c, so an evaluation electronics, not shown, depending on the signal of the transducer 9, a vertical travel for the bearing 7th cause. The travel results in an axially parallel displacement of the Axis of rotation 2 of the roller b.

Bei einer Tragwalzen-Wickelmaschine, bei der eine Wickelrolle gleichzeitig mit zwei Walzen Kontakt hat, ist die Schwingungsdämpfung besonders schwierig, da nicht nur die Schwingungen an einem Nip (Walze und Wickelrolle) auftreten, sondern zugleich noch ein zweiter Nip für Schwingungen sorgt. Deshalb kommt es zu Wechselwirkungen zwischen den drei Körpern (Walzen a, b, und Wickelrolle c). In a carrier roller winding machine, in which one winding roller with two at the same time Vibration contact is particularly difficult because it does not only the vibrations occur at a nip (roller and winding roll), but at the same time, a second nip provides vibrations. That's why it happens Interactions between the three bodies (rollers a, b, and winding roller c).

Mittels eines geeigneten Rechenmodells werden aus den Lagerkräften die erforderlichen achsparallelen Bewegungen der Walze b berechnet. Auf diese Weise sind speziell die Probleme der Wechselwirkungen weitestgehend zu lösen.With the help of a suitable calculation model, the storage forces become the necessary ones axis-parallel movements of the roller b are calculated. That way specifically to solve the problems of interactions as far as possible.

Bei der Tragwalzen-Wickelmaschine aus der Figur 1 wird nur die Walze b aktiv schwingungsgedämpft. Dadurch bleiben immer noch Schwingungskräfte, die durch das Abrollen der Wickelrolle c auf der Tragwalze a oder durch das Abrollen der Druckwalze d entstehen. Deshalb ist in einer Weiterentwicklung der Erfindung, die in der Figur 2 zu sehen ist, auch die Tragwalze a aktiv schwingungsgedämpft. Zusätzlich sind die Stellorgane 11, 12 im wesentlichen auf das Zentrum der Wickelrolle c gerichtet und die Meßwertaufnehmer 9, 10 sind zwischen den Lagern 6, 7 und den Stellorganen 11, 12 angeordnet. Weiterhin können die Lager 6, 7 in Führungen 13, 14 gleiten. Dadurch sind Streben 17 und Widerlager 19 wie in Figur 1 nicht erforderlich. Durch die im wesentlichen zentrische Ausrichtung der Stellorgane 11, 12 gibt es nur noch geringfügige Kräfte auf die Führungsflächen der Führungen 13, 14. Dieses heißt, daß ein konstruktiver Aufwand für das Auffangen von vertikalen und horizontalen Kraftkomponenten nur geringfügiger Art ist.In the support roller winding machine from FIG. 1, only roller b becomes active vibration-damped. This still leaves vibrational forces going through the unwinding of the winding roll c on the support roller a or by unrolling the Printing roller d arise. Therefore, in a further development of the invention, which is in can be seen in Figure 2, the support roller a actively damped vibration. In addition, the actuators 11, 12 are essentially at the center of the Winding roll c directed and the transducers 9, 10 are between the bearings 6, 7 and the actuators 11, 12 arranged. Furthermore, the bearings 6, 7 in Guides 13, 14 slide. As a result, struts 17 and abutments 19 are as in FIG. 1 not mandatory. Due to the essentially central alignment of the actuators 11, 12 there are only slight forces on the guide surfaces of the guides 13, 14. This means that a constructive effort for collecting vertical and horizontal force components is only minor.

Weil in der Figur 2 nun insgesamt zwei Walzen verlagerbar sind (d.h. mit ihren Drehachsen achsparallel verschoben werden können) und jede Achse schließlich zwei Lager aufweist, entsteht ein komplexes Schwingungssystem, da es vielfältige Wechselwirkungen zwischen den beteiligten Körpern a, b, c, d gibt. Um diesen Gegebenheiten Rechnung zu tragen, empfiehlt es sich, daß die Meßsignale in einem Rechnerprogramm bearbeitet werden. Heutige Rechnerleistungen ermöglichen eine Echtzeit-Datenverarbeitung von mehr als 100 Hz Abtastrate.Because in Figure 2 a total of two rollers can now be moved (i.e. with their Axes of rotation can be moved parallel to the axis) and finally each axis two Bearing has, a complex vibration system is created because it is diverse Interactions between the bodies involved a, b, c, d there. To this To take account of circumstances, it is recommended that the measurement signals in one Computer program can be edited. Today's computing capabilities enable one Real-time data processing of more than 100 Hz sampling rate.

Mit der Figur 3 soll eine weitere Anordnung der Stellorgane 11, 12 bei einem Tragwalzen-Wickelmaschine veranschaulichen. Hier sind die Stellorgane 11, 12 horizontal ausgerichtet. Die Führungen 13, 14 müssen nur wegen des Gewichtes der Wickelrolle c einseitig stützend ausgebildet sein. Sind nun die Stellorgane 11, 12 horizontal ausgerichtet, so kann feinfühliger reagiert werden, weil die waagerechte Komponente bei einem großen Stellweg kleine vertikale Komponenten ermöglicht. 3 shows a further arrangement of the actuators 11, 12 in a To illustrate the support roller winding machine. Here are the actuators 11, 12 aligned horizontally. The guides 13, 14 need only because of the weight of the Winding roll c be designed to support one side. Are the actuators 11, 12th horizontally aligned, so you can react more sensitively, because the horizontal Component allows small vertical components with a large travel range.

Weil bei einem Tragwalzen-Wickelmaschine jeweils nur die äußeren Enden der Hülsen 15 der äußeren Wickelrolle c für Führungsköpfe zugänglich sind, gibt es hier auch nur dort Führungsköpfe. Deshalb kann bei diesem Wickelmaschinen-Typ keine Stellkraft auf die Wickelrolle c einwirken, sondern das Stellorgan kann immer nur an einer der Tragwalzen angreifen.Because in a carrier roller winding machine only the outer ends of the sleeves 15 of the outer winding roll c are accessible for guide heads, there are also here only there leaders. Therefore, none can be used with this type of winding machine Actuating force on the winding roll c, but the actuator can only ever attack one of the carrier rollers.

Mit der Figur 4 wird nun eine Dreiwalzen-Wickelmaschine gezeigt. Hier sind die Wickelrollen c alternierend zur Scheitellinie der Walze d und senkrecht zur Zeichnüngsebene zueinander versetzt angeordnet. Dadurch können beidseitig einer jeden Wickelrolle c in deren Hülsen 15 Führungsköpfe eingreifen. Auch hier ist das Prinzip der vertikalen Ausrichtung der Stellorgane 11, 12 verwirklicht worden. Die Walze d erfährt in diesem Ausführungsbeispiel keine aktive Schwingungsdämpfung.FIG. 4 shows a three-roll winding machine. Here are the Winding rolls c alternate to the apex line of the roller d and perpendicular to the plane of the drawing staggered. This allows everyone on both sides Grip winding roller c in the sleeves 15 guide heads. Here too is the principle the vertical alignment of the actuators 11, 12 has been realized. The roller d does not experience active vibration damping in this exemplary embodiment.

Weil in der Figur 4 die einzelnen Wickelrollen c mit Führungsköpfen versehen sein können, könnte alternativ oder zusätzlich eine aktive Schwingungsdämpfung an jeder einzelnen Wickelrolle angreifen.Because in Figure 4 the individual winding rolls c are provided with guide heads could, alternatively or additionally, active vibration damping on everyone attack individual winding roll.

Das Angreifen von Führungsköpfen in die Wickelrollen c - in Verbindung mit der erfindungsgemäßen, aktiven Schwingungsdämpfung wird in der Figur 5 gezeigt. Die gestrichelten Doppelkreise auf der Walze d zeigen die Hülsen 15 in ihrer Lage während des Wickelanfanges. Auf einer Walze d sind alternierend zu deren Scheitellinie und senkrecht zur Zeichnungsebene zueinander versetzt die Wickelrollen c angeordnet. Deshalb sind die Enden der Hülsen 15 einer jeden Wickelrolle c für Führungsköpfe zugänglich. Je nach gewünschter Wickelhärte, werden die Wickelrollen c derart durch Stellorgane angehoben, daß nicht das volle Gewicht der Wickeirolle c zum Tragen kommt. Dadurch kann die Anpreßkraft der Wickelrolle c auf die Walze d kleiner dimensioniert werden, als die Normalkraft des Wickelrollen-Eigengewichtes. Bei dem hier dargestellten Wickelmaschinen-Typ ist nun der Mechanismus zum Anheben der Wickelrolle c kombiniert mit der aktiven Schwingungsdämpfung. Es versteht sich, daß hier mittels der Führungsköpfe aber auch eine zusätzliche Anpreßkraft realisiert werden könnte. The attack of guide heads in the winding rolls c - in connection with the Active vibration damping according to the invention is shown in FIG. The Dashed double circles on the roller d show the sleeves 15 in their position during the start of wrapping. On a roller d are alternating to their The winding rollers are offset vertically and perpendicular to the plane of the drawing c arranged. Therefore, the ends of the sleeves 15 of each winding roll are c for Guide heads accessible. Depending on the desired winding hardness, the winding rolls c raised by actuators in such a way that not the full weight of the roller c comes into play. As a result, the contact pressure of the winding roll c on the Roller d are dimensioned smaller than the normal force of the winding roll weight. In the winding machine type shown here is now the Mechanism for lifting the winding roller c combined with the active vibration damping. It goes without saying that here also one by means of the guide heads additional contact pressure could be realized.

Wird bei den beschriebenen Lösungen entweder nur die Drehachse einer Walze oder nur die einer Wickelrolle verlagert, so entstehen Reaktionskräfte auf das Maschinengestell und auf die Fundamente. Werden nun aber im Rahmen der aktiven Schwingungsdämpfung die Achsen der Walze und der Wickelrolle gleichzeitig verlagert und werden die jeweiligen Verlagerungswege der Drehachsen umgekehrt proportional zu den Massen der entsprechenden Körper gewählt, so ergeben sich nach dem Impulssatz keine Kräfte auf die Fundamente. Sind die Stöße der Wickelrolle auf eine Walze unelastischer oder teilelastischer Art, so gelten die entsprechenden Abwandlungen des Impulssatzes.In the solutions described either only the axis of rotation of a roller or If only one winding roll is shifted, reaction forces arise on the machine frame and on the foundations. But are now in the context of active vibration damping the axes of the roller and the winding roll shifted and simultaneously the respective displacement paths of the axes of rotation are inversely proportional to the masses of the corresponding bodies are chosen, we get according to Impulse set no forces on the foundations. Are the impacts of the winding roll on one If the roller is inelastic or partially elastic, the corresponding modifications apply of the pulse set.

Abschließend soll noch hervorgehoben werden, daß die aktive Schwingungsdämpfung nicht nur bei Trag- oder Stützwalzen-Wickelmaschinen, also für in Längsrichtung geteilte Materialbahnen 16 verwendet werden kann, sondern auch für den Pope-Roller und seinen Weiterentwicklungen. Hier kann dann sowohl auf die Lagerungen der Druckwalze, als auch auf die Lagerungen der Wickelachse eine aktive Schwingungsdämpfung einwirken. Ferner kann die vorliegende Erfindung auch auf Umwickelmaschinen und auch bei Abwickelstationen für Streichmaschinen angewendet werden.Finally, it should be emphasized that the active vibration damping not only for carrier or back-up roll winding machines, i.e. for lengthways divided material webs 16 can be used, but also for the Pope-Roller and its further developments. Here can then both on the Bearings of the pressure roller, as well as an active on the bearings of the winding axis Vibration damping act. Furthermore, the present invention can also be applied to Wrapping machines and also at unwinding stations for coating machines be applied.

Claims (12)

Verfahren und Vorrichtung zur aktiven Schwingungsdämpfung bei WickelmaschinenMethod and device for active vibration damping in winding machines Verfahren zur Dämpfung von Schwingungen bei Wickelmaschinen für Materialbahnen - insbesondere von Papier- und Kartonbahnen - mit den folgenden Merkmalen: mindestens zwei aufeinander abrollende zylindrische Körper (a, b, c, d) bilden miteinander einen Nip, einer der Körper (a, b, c, d) ist eine Wickelrolle und der andere Körper (a, b, c, d) ist eine daran anliegenden Walze, die beiden Körper (a, b, c, d) bilden durch Unwucht oder Unrundheit miteinander ein schwingfähiges System dadurch gekennzeichnet, daß mindestens einer der Körper (a, b, c, d) des Schwingungssystems eine aktiven Dämpfung bezüglich der Schwingungskräfte erfährt, das heißt, daß pro Umdrehung eines der Körper (a, b, c, d) eine Vielzahl von Schwingungskräfte-Messungen erfolgen, in Abhängigkeit vom aktuellen Meßwert wird die Drehachse (1, 2, 3, 4, 5) mindestens eines Körpers (a, b, c, d) derart verlagert, daß die Schwingungskräfte vermindert werden, das Verlagern der Drehachse (1, 2, 3, 4, 5) erfolgt mittels einer von außen dem System zugeführten Zusatzenergie. Process for damping vibrations in winding machines for material webs - in particular paper and cardboard webs - with the following features: at least two rolling cylindrical bodies (a, b, c, d) form a nip with one another, one of the bodies (a, b, c, d) is a winding roll and the other body (a, b, c, d) is a roller lying against it, the two bodies (a, b, c, d) form an oscillatory system with one another due to imbalance or out-of-roundness, characterized in that at least one of the bodies (a, b, c, d) of the vibration system experiences active damping with respect to the vibration forces, This means that a large number of vibrational force measurements are carried out per revolution of one of the bodies (a, b, c, d), depending on the current measured value, the axis of rotation (1, 2, 3, 4, 5) of at least one body (a, b, c, d) is displaced in such a way that the vibrational forces are reduced, the axis of rotation (1, 2, 3, 4, 5) is shifted by means of an additional energy supplied to the system from the outside. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß pro Umdrehung eines der Körpers (a, b, c, d), mindestens vier Meßwerte gewonnen werden. Method according to Claim 1, characterized in that at least four measured values are obtained per revolution of one of the bodies (a, b, c, d). Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß vor der Gewinnung eines neuen Meßwertes, die aus dem letzten Meßwert resultierende Verlagerung der Drehachse (1, 2, 3, 4, 5) abschlossen ist, womit so eine Echtzeit-Datenverarbeitung vorliegt.Method according to one of claims 1 or 2, characterized in that before the acquisition of a new measured value, the displacement of the axis of rotation (1, 2, 3, 4, 5) resulting from the last measured value is completed, thus providing real-time data processing , Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Meßwerte in einem Rechenprogramm verarbeitet werden.Method according to one of claims 1 to 3, characterized in that the measured values are processed in a computer program. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß das Rechenprogramm einen Algorithmus beinhaltet, der den zeitlichen Verlauf der Meßwerte als Funktion der Abwicklung des Körpers registriert, wobei der Algorithmus durch die Abfolge der Meßwerte, die nächste Umdrehung des rotierenden Körpers erkennt und dadurch schneller in seiner Datenverarbeitung zu den Werten für die Verlagerung für die Drehachse gelangt.Method according to Claim 4, characterized in that the computer program contains an algorithm which registers the temporal course of the measured values as a function of the development of the body, the algorithm recognizing the next rotation of the rotating body through the sequence of the measured values and thereby faster in its rotation Data processing reached the values for the displacement for the axis of rotation. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Algorithmus bezüglich der Parameter des Schwingungssystems lernfähig und damit selbstadaptierend ist.Method according to Claim 5, characterized in that the algorithm is capable of learning with regard to the parameters of the vibration system and is therefore self-adapting. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Anzahl der Meßwerte zu Beginn des Wickelns geringer ist und mit zunehmenden Wickelrollen-Durchmesser gesteigert wird.Method according to one of claims 1 to 6, characterized in that the number of measured values at the start of winding is smaller and is increased with increasing winding roll diameter. Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 7, mittels einer Wickelmaschine mit mindestens zwei Körpern (a, b, c, d), wobei einer der Körper (a, b, c, d) eine Walze ist und der andere Körper (a, b, c, d) eine Wickelrolle ist, dadurch gekennzeichnet, daß mindestens ein Körper (a, b, c, d) an den Enden seiner Drehachse (1, 2, 3, 4, 5) mit verlagerbaren Lagern (6, 7, 8) ausgestattet ist, wobei diesen Lagern (6, 7, 8) Meßwertaufnehmer (9, 10) zugeordnet sind und daß an den Lagern (6, 7, 8) die Zusatzenergie in Form von Stellorganen (11, 12) angreift.Device for carrying out the method according to one of claims 1 to 7, by means of a winding machine with at least two bodies (a, b, c, d), one of the bodies (a, b, c, d) being a roller and the other body (a, b, c, d) is a winding roll, characterized in that at least one body (a, b, c, d) at the ends of its axis of rotation (1, 2, 3, 4, 5) with displaceable bearings (6 , 7, 8), with these bearings (6, 7, 8) being assigned sensors (9, 10) and with the additional energy acting on the bearings (6, 7, 8) in the form of actuators (11, 12) , Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß das Stellorgan (11, 12) aus einem Hydraulikzylinder besteht.Apparatus according to claim 8, characterized in that the actuator (11, 12) consists of a hydraulic cylinder. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 8 oder 9, dadurch gekennzeichnet, daß die Zusatzenergie vertikal gerichtet ist.Device according to one of claims 8 or 9, characterized in that the additional energy is directed vertically. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 8 oder 10, dadurch gekennzeichnet, daß die Zusatzenergie horizontal gerichtet ist.Device according to one of claims 8 or 10, characterized in that the additional energy is directed horizontally. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 8 oder 9, dadurch gekennzeichnet, daß die Zusatzenergie in Richtung Drehachse (1, 2, 3, 4, 5) des zugeordneten Körpers (a, b, c, d) gerichtet ist.Device according to one of claims 8 or 9, characterized in that the additional energy is directed in the direction of the axis of rotation (1, 2, 3, 4, 5) of the associated body (a, b, c, d).
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